radice n-esima di 1
Radice n-esima di 1
Il numero 1 individuato nella sua forma trigoniometrica risulta essere: cos(2)+ i sin(2). La formula trigonometrica generica della radice n-esima di 1 è verificata essere: cos(2k/n+ i sin(2k/n). Questa è rappresentato nel grafico dalla lettera z1; n rappresenta il grado della radice sotto la quale è posto 1, invece k (che varia da 0 a n-1) rappresenta il numero di soluzioni rese dalla radice. I punti che derivano dalla variazioni di n e k si scoprono essere tutti appartenenti alla circonferenza con centro nell'origine degli assi e di raggio 1.
Le radici n−esime di un numero complesso non nullo sono
esattamente n e sono disposte come i vertici di un poligono regolare; se il numero
complesso in questione è 1, esso stesso sarà una propria radice n−esima per ogni
n. Quindi le radici n−esime dell’unità sono i vertici di un poligono regolare di
n lati, inscritto nella circonferenza unitaria con un vertice in 1.
Radice 0 di 1
Un caso degenere della funzione si ha con n=0 dove infatti la funzione trova soluzioni in tutto l'insieme con 0 escluso.
Radice 1 di 1
Quando la radice in questione, è una radice prima, le sulozioni convergono in un unico punto che è il punto (1,1); infatti sia n=1 risulta univocamente k=0 e l'equazione generica della radice n-esima di 1 degenera in cos(2)+i sin(2).
Radice 2 di 1
Analizziamo il primo caso: la radice è quadrata. Quando la radice è tale, il numero n nella formula cos(2k/n)+ i sin(2k/n) si va a semplificare e la funzione risultante è cos(k)+ i sin(k) che è quindi z1. Il k in questo caso può avere valore di 0o di 1 e seconda del valore il punto localizzato nel grafico cambia. Ponendo k=0 infatti il punto si localizza nel punto (1,1); invece con k=1 esso cade nel punto (-1,1).Ciò dimostra anche che l'angolo che si forma tra i diversi punti della circonferenza si mantiene costante e in questo caso l'angolo è.
Radice 3 di 1
Nel caso in cui n assuma valore 3, il valore di k può essere 0,1 e 2, ai quali valori conseguono 3 soluzioni. Con k=0 la funzione diventa cos(2)+ i sin (2) e la soluzione è z1=(1,0); con k=1 la funzione risulta cos(2/3)+ i sin(2/3) e il valore -1+i/2. Per k=2 la funzione diventa cos(4/3)+ i sin(4/3)e il valore assunto da essa è -1-3/2.
Esercizio
Prova tu. Verifica la radice alla quale è sotteso il numero 1, e trovarne la forma trigonometrica.
Soluzione: ();(cos k/3)+i sin k/3).
Esercizio
Prova tu. Sapendo che n=8 ponendo 6k7, trova le soluzioni in questo intervallo.
Soluzioni: per k=6 --> z1=-i per k=7 --> z1=/2-i /2.