Kurvendiskussion Maximum, Minimum, Sattelpunkt, Wendepunkt
- Autor:
- Armin Lässer
- Thema:
- Kurvendiskussion
Extrema haben immer waagrechte Tangenten, daher muss f' dort 0 sein! („notwendige“ Bedingung)
Bei einem Maximum ist die Funktion davor steigend, danach fallend. Also ist die Ableitung davor positiv und danach negativ. Die Ableitung ist in diesem Bereich (um diese Nullstelle) also fallend. Die zweite Ableitung ist in diesem Bereich also negativ („hinreichende“ Bedingung). Man spricht von einer negativen Krümmung („Rechtskurve“).
Minimum → Funktion davor fallend, danach steigend → Ableitung davor negativ, danach positiv → Ableitung steigend → zweite Ableitung positiv → positive Krümmung („Linkskurve“)
Ein Sattelpunkt hat auch eine waagrechte Tangente, aber die Funktion hat davor und danach dieselbe Monotonie (im Beispiel ist die Funktion vor und nach dem Sattelpunkt fallend). Also hat die Ableitung davor und danach dasselbe Vorzeichen, ihre Nullstelle ist dort also ein Berührpunkt und somit ein lokales Extremum der Ableitung. Also ist die zweite Ableitung an dieser Stelle Null (wegen der waagrechten Tangente an die erste Ableitungsfunktion).
Leider gilt die Umkehrung der Aussage über Sattelpunkte nicht, wie das Bsp.: g(x)= verdeutlicht.
Ein Wendepunkt ist der Übergang von einer Rechtskurve in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dort ist die Steigung entweder größer oder kleiner als in der lokalen Umgebung, d.h. extrem „steil“ (bergauf/bergab) oder extrem „flach“. Es handelt sich also um die Extrema der ersten Ableitung. Wie bei den Extrema der ursprünglichen Funktion müssen auch hier Sattelpunkte der Steigungsfunktion ausgeschlossen werden - durch f'''() ≠ 0.