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円の面積2

扇形の面積から求める

円を扇形から三角形にすると、その面積は、円周×半径(高さ)÷2で求まります。 ここから簡単に円の面積が求めることができますが、この考えを使うと極座標で面積を求める積分に一般化できます。 r=f(θ)で微小な扇形Δθを考えると、この面積は、底辺がΔθ・f(θ)で高さがf(θ)の三角形と考えて、面積はf(θ)Δθ÷2となって、面積は積分して1/2∫f(θ)dθで求めることができます。 もう一つ、 dθで積分をするためには長方形の縦の長さを求めます。縦の長さは、dθが十分小さくなると∠GFEがθに近づくので、rdθcosθとなります。長方形の面積=rcosθ×rcosθdθを0からπ/2まで積分すると、円/4の面積がでます。ここでふと気づいたのだけどsinθの微分がcosθであることの証明になっていますね。