Inversione di un punto rispetto ad una circonferenza
Data una circonferenza di centro e raggio e dato un punto diverso da , costruire con l'uso del solo compasso l'inverso di rispetto a .
Dobbiamo distinguere due casi:
1. ;
2. .
Di seguito abbiamo la relativa costruzione nel caso in cui .
Di seguito abbiamo la relativa costruzione nel caso in cui . Per realizzare la costruzione, basta:
1. Costruire il punto tale che e ;
2. Costruire il punto inverso di rispetto a ;
3. Costruire il punto tale che .
Allora è l'inverso di rispetto a .
Per semplicità, mostriamo l'esempio in cui .
Dimostrazione caso 1: consideriamo i segmenti in figura.
Basta mostrare in ordine che:
1. Il triangolo è isoscele;
2. Il triangolo è isoscele;
In questo modo, si può concludere la dimostrazione utilizzando la proprietà di similitudine dei triangoli e la definizione di inversione circolare.
Dimostrazione caso 2: segue dalle proprietà di costruzione e dalla definizione di inversione circolare.