Form- und Lageänderung der Normalparabel
Die Funktion f(x) = x2 ist natürlich nicht die einzige quadratische Funktion, und die Normalparabel ist nicht die einzige Parabel, die es gibt. Beispielsweise ist auch g(x) = 2(x-3)2+4 eine quadratische Funktion mit einer Parabel als Funktionsgraph. Wie unterscheidet sich dieser Graph von der Normalparabel? Welchen Einfluss haben die 2, die -3 und die +4 auf die Gestalt des Graphen? Das soll im Folgenden schrittweise untersucht werden.
Die Funktion f(x) = a·x²
Im folgenden finden Sie eine Wertetabelle. Darin sind die y-Werte für die Normalparabel bereits eingetragen. Auch die Normalparabel ist bereits in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Verwenden Sie die y-Werte der Normalparabel, um sich die richtigen y-Werte der anderen drei Funktionen jeweils zu überlegen. Immer wenn Sie einen Wert richtig eintragen, erscheint der entsprechende Punkt im Koordinatensystem.
Formulieren Sie dann, wie sich der Faktor a auf die Gestalt der Funktion y = a·x2 auswirkt.
Als Ergebnis halten wir fest: Der Faktor a in y = a·x2 streckt () die Parabel und macht sie schmaler, bzw. staucht () die Parabel und macht sie weiter. Ist a negativ so wird die Parabel zusätzlich an der x-Achse gespiegelt und ist dann nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt hat unverändert die Koordinaten (0|0).
Die Funkion f(x) = x²+ e
Füllen Sie wiederum die Wertetabelle für die beiden Funktionen aus, indem Sie die y-Werte für die Normalparabel verwenden. Formulieren Sie dann, wie sich der Wert von e auf den Verlauf der Parabel auswirkt.
Als Ergebnis halten wir fest: Das e in y = x2 + e verändert die Form der Parabel nicht, sondern verschiebt sie nur nach oben (e > o) bzw. nach unten (e < 0). Der Scheitelpunkt liegt deshalb nicht mehr bei (0|0), sondern nun bei (0|e).
Die Funktion f(x) = (x-d)²
Füllen Sie erneut die Wertetabelle aus, indem Sie die gegebenen y-Werte für die Normalparabel verwenden. Formulieren Sie dann, wie der Wert von d sich auf den Verlauf der Parabel auswirkt.
Als Ergebnis halten wir fest: Das d in y = (x-d)2 verändert die Form der Parabel nicht, sondern verschiebt sie nur nach rechts oder links. y = (x-1)2 ist eine um 1 nach rechts verschobene Normalparabel, und y = (x+2)2 ist eine um 2 nach links verschobene Normalparabel. Der Scheitelpunkt liegt nicht mehr bei (0|0), sondern nun bei (d|0)