oeps... Pythagoras heeft een probleem
Oeps... een probleempje!
(of waarom een stapeling van kwinten niet in een geheel aantal octaven past...)
Tel je in trappen van halve tonen van grondtoon tot octaaf, dan krijg je volgende reeks:
do - do# - re - re# - mi - fa - fa# - sol - sol# - la - la# - si - do.
In deze reeks is de kwint (sol) de 7e trap van 12. en een octaaf de 12e trap.
Wanneer we spreken over ‘de kwint van de kwint van een grondtoon’, zeggen we dat we kwinten optellen.
Maar hiermee begeven we ons op glad ijs. Wiskundig zijn we immers helemaal niet aan het optellen,
maar vermenigvuldigen we een frequentie met een factor 3/2.
Dit is geen taalpurisme maar maakt een fundamenteel verschil.
Bij optellen tel je lineair, bij vermenigvuldigen exponentieel. We plaatsen beide modellen eens naast elkaar.
lineair model:
In gelijke stapjes van 0 tot 12 tellen we met elke toontrap telkens 1/12 bij.
| do | do# | re | re# | mi | fa | fa# | sol | sol# | la | la# | si | do |
| 0 | 1/12 | 2/12 | 3/12 | 4/12 | 5/12 | 6/12 | 7/12 | 8/12 | 9/12 | 10/12 | 11/12 | 12/12=1 |