Kapitel
CAS 4 lineare Gleichungssysteme
Zusammenstellung zum Matrizen-Rechnen (Gleichungssysteme)
In der Reihe "CAS 4" versuche ich das schriftliche Rechnen ins CAS zu übertragen, um damit quasi das schriftliche Rechnen im CAS zu begleiten und zu kontrollieren.
Wer von einen CAS zu GGB wechselt wird sich am meisten darüber wundern, dass Variablen nur einmal belegt/definiert weren können, aber nicht geändert/überschrieben werden können. Das hat eine ganz eigenwillige Programmierung zufolge (z.B. kann man nicht auf einem Matrixfeld rechnen, sondern erzeugt immer neue Matrizen mit den zu ändernden Elementen)
Aufgrund der exzessiven Produktpflege werden immer wieder Funktionalitäten verschlimmbessert oder verschwinden komplett - machmal kann ein Bug-Report abhilfe schaffen.
- Eingabehilfen: In der Zeile Input werden nach 3 Zeichen Auswahlisten für die passenden Befehlsfunktionen angezeigt. Die Platzhalter für die Argumente beschreiben welche Datentypen erwartet werden, z.B. Plane( <Point>, <Vector>, <Vector> ) - die Auswahl eines dieser Muster verlangt aber trotzdem von User, das er Sorge dafür trägt das auch der verlangte Datentyp übergeben wird!
- LISTEN indexieren, statt umständlich mit ELEMENT(LISTE,nr) zu hantierten konnte man einfach LISTE(nr) schreiben um Element nr auszulesen - diese Funktionalität scheint nicht gesichert.
- →Es ist allerdings fast unmöglich bestehende Anwendungen umzuschreiben - müssten komplett neu aufgebaut werden...
- VEKTOR/PUNKT Es entsteht der Eindruck, daß ggb keinen Unterschied macht (z.B. Skalarprodukt) - das ist aber nicht so, besonders bei Matrix*Vektor(Punkt)+Vektor(Punkt) ist es bisweilen schwierg vernünftige/konsistente Ergebnisse zu erhalten
- VEKTOR/PUNKT/LISTE Vektoren/Punkte sind beschränkt auf die grafische Darstellung (x,y),z). Zur Bearbeitung höherdimensionaler Vektroräume muß auf Listen/Matrizen-Formen umgestellt werden und die notwendigen Transformationen werden nicht unterstützt. Es sind zum Teil recht aufwändige Konstruktionen notwendig.
- MATRIX Nur rudimentäre Unterstützung für Matrizen-Operationen. Indizierung von Matrixelementen a(i,j) nur mittels ELEMENT() möglich - macht komplexe Matrixterme sehr unübersichtlich. Spaltenoperationen (Indizierung bzw. einfügen/entfernen) werden nicht unterstützt.
- Terme mit unbestimmten Variablen können nicht in der AlgebraView eingetragen werden. Es entstehen aber immer wieder Kommunikationslücken zwischen CAS <-> AlgebraView wo Terme(Matrizen) des CAS nicht in der AlgebraView auftauchen, obwohl eine konkrete Wert-Zuweisung erfolgt ist.
- cas function Funktionen mit unbestimmten Variablen müssen unbedingt mittels "Behalte Eingabe", bzw "Keep Input", eingegeben werden, damit die Abhängigkeiten nicht ausgewertet werden (was wird multiliziert: Skalar oder Vektor), soll erst zur Laufzeit mit konkreten Werten entschieden werden: Beispiel: [Alt+Eingabe] lsg(1,2,-3) [Strg+Eingabe] Berechne Numerisch Es ist unbedingt darauf zu achten, dass auch in den verwendeten Variablen und Übergabeparameter KEINE Konflikte mit existierenden/anderweitig verwendeten Variablen entstehen! Insbesondere ist auf unterschiedliche Namen für Argument bzw. Sequence-Index-Variablen bei verschachtelten Funktionsaufrufen a(aa):=i(1...n), b(bb):=j(1...n) -> a(b(...)) zu achten!
- review cas functions Versionen Updates haben immer wieder Auswirkungen auf cas functions und die eine oder andere function stellt ihre Mitwirkung ein. Sehr ärgerlich da viel Arbeit quasi vernichtet wird, wenn Funktionalitäten verloren gehen ohne das die Ursachen der Fehlfunktion ausgemacht werden können. Das erschwert auch die Überarbeitung bzw. die Fehlerbeseitigung. Auf Bug-Reports wird nur in wenigen Fällen reagiert. Es entsteht der Eindruck, dass die Entwickler wenig Rücksicht auf die Auswirkungen ihrer Updates auf das CAS nehmen? Falls sie also solche kaputten cas functions in meinen Aktivitäten finden - lassen sie es mich wissen!
Inhaltsverzeichnis
Grundlagen und Werkzeuge
- CAS Symbolische Mathematik
- Grundsätzliche Matrix-Operationen
- CAS: Lineare Gleichungssysteme konstruieren
- Gleichung lösen im CAS
- Werkzeugkiste - Code für CAS Anwendungen
- Gleichungssystem im CAS
- Kubisches Polynom CAS
- Grundlagen Matrix Gleichungssysteme
- Elementarmatrizen
- Überbestimmte LGS untersuchen
- Dyadisches Produkt (Tensor-Produkt)
- Faktorisieren von Summentermen (Ausklammern)
- Parameter-Flächen in der Ebene R3 ◯ Δ /_/
- Matrizen-Wiki
- CAS: Aufgaben kommentieren und betexten
- List exchange - listen elemente tauschen
- Elementarmatrizen - Formales/Definition/Implementation
- Horner Schema (Polynomdivision)
- Horner Tableau Polynom-Division
- Horner Tableau Iteration-4-Polynom-Division
- Horner Scheme complex (CAS polynom division)
- Additions- Multiplikationstafel modulo m
- Tabelle Logik Verknüpfung - Boolean Tableau
- Tabelle Logik Verknüpfung - 3 Input Boolean Tableau
- XXL Tabelle Logik Verknüpfung - Boolean Tableau
- Polynomdivision handmade
Gauss-Algorithmus
- Gauss Algorithmus mit erweiterter Matrix
- Linear System Gauß Algorithm in CAS
- CAS related to Gauss-Algorithmus
- 3x3 Algorithmus für Zeilentauschmatrizen
- Zeilentauschmatrizen (Gauss universell) für 3x3 GLS
- 3x3 GLS CAS universell kommentiert
- ReducedRowEchelonForm - Gauß-Step-Helper
- Gauss-Algorithmus 4x4 Zeilentausch-Matrizen
- Gauss 4x4 Sequence-Algorithmus
- Gauss n x n Algorithmus Script
- Über- und unterbestimmte GLS
- Lineares GS ℝ⁴×⁶ Lösungsraum X + λ Kern
- Lineares GS ℝ⁴×⁶ Kern + Lösungsraum
- Gauss 3x4 und 2x4 Parameter Lösung
- Restklassen IP/ℤ₇ - lineares Gleichungssystem
- Gauss Triag-Diag-Subst CAS Funktionen
- Gauss-Algorithmus in Tabkalk für 4x4 Gleichungssysteme
- Gauss-Algorithmus schrittweise JavaScript.GGB6.js
- LGS 3x3 Darstellung in Ebenen beim Gauss-Algorithmus
- CAS Functions 4 Gauß-Algorithm
- Elementarmatrizen für Gaußalgorithmus
- Gauß-Seidel/Jacobi Iteration lineare Gleichungssysteme
- Gauß-Seidel Algorithmus js
- ReducedRowEchelonForm - Zeilenstufenform
- ReducedRowEchelonForm - Zeilenstufenform
- Elementar-Matrix CAS Calculator
- Diophantisches LGS und Smith-Normalform
- Diophantische Gleichung und Smith-Normalform
- Gauß-Algorithmus Helper
- Gauss-Algorithmus step by step
- PAQ Algorithmus Helper (Matrix SmithNF/RRef)
- Gauß-Algorithmus Iteration(outer dyadic tensor product)
LR/QR-Zerlegung
- LR-Zerlegung ohne Pivotsuche
- LGS LR Zerlegung Skript für variable Matrix-Dimension
- LR-Zerlegung mit Pivotsuche (vollständig/teilweise) R4
- LR Zerlegung auf einem Matrixfeld
- Procedure Script LU decomposition on a matrix array
- LR Zerlegung R4 - LU decomposition linear equations
- LR Zerlegung R³ - LU decomposition linear equations
- Parametermatrix - Determinante - Inverse R3
- QR Zerlegung Givens-Rotation (Jacobi-Rotation)
- Cholesky-Zerlegung
- Gram-Schmidt-Verfahren ℝn und QR-Zerlegung
- PAQ step by step Helper LR/LU - Algorithmus
- PAQ Cholesky-Zerlegung step by step
- Cholesky-Zerlegung-Formel (spredsheet-cas)
- Cholesky-Zerlegung/Decomposition Iteration
- Givens-Rotation A=QR step by step ℝ³
Abbildungen
- Spiegelung an Ebene
- Spiegelung an Ursprungsgerade R2
- Spiegelung an Ursprungsgerade R2
- Geraden Spiegelung R3
- Matrixfunktion für Drehung um Koordinaten-Achsen xyz
- Matrix Drehung um AchsenGerade durch Ursprung R³
- Homogene Koordinaten Rotation um Achse
- Orthogonale Projektion - Abbildung Lotfusspunkt auf Ebene
- Grundlagen Abbildungen Matrizen Basiswechsel
- Darstellungsmatrizen - Basiswechsel und Abbildung
- Isomorphismus R3 Basis C
- R3 in R2 Matrixdarstellung E, B und C
- Darstellende Matrix Phi bezgl. Basis B R^3
- Affine Abbildung Basiswechsel R2
- Kern und Bild einer linearen Abbildung
- Basiswechsel visualisieren (Basistransformationsmatrix)
- Cam Carpet Projektion und Spotlight Projektion
- Homogene Koordinaten GeoGebra CAS
- Spiegelung an Gerade R² (reflection matrices CAS)
- Spiegelung an Gerade R³ (reflection matrices CAS)
- Rotation R² homogene & kartesische KO
- Shear - Scherung, Streckung - Dilate 3D
- Central & Parallel Projection Matrix construction
- Orthogonale Projektion und Urbild/Bild-Flächenvektor
- Parallel-Schiefe-Projektion - Schatten bei parallelen Strahlen
- Netz regelmäßiger Körper - Rotation Homogene Koordinaten
- Rotation R³-Achse als elementare x,y,z-Achsendrehungen
- Drehungen R² verknüpfen
- x-y-z-Achsen-Drehungen → Drehung um Ursprungsachse
- Hamming-Code Matrix
- Gleitspiegelung - affine Abbildung und Matrix (homogene KO)
- Basistransformation affine Koordinatensysteme E(0;e₁,e₂)↔F(Q,f₁,f₂)
- Polygon Area - Polygon Net - dyn.Rotation homogene COS
- Parallel Projection curve-vector-function
- Central-Projection curve-parameter-function
- Projection on spherical surface
Lineare Optimierung
Regression (Fitten)
- Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- Polynom Regression Herleitung
- Polynom Regression Normalengleichung
- Regression MultiVariablen linear
- Regression CAS Exponential/Potenz-Function
- Polynom-Interpolation Vandermonde-Lagrange-Newton
- Least-Squares ℝ⁴-Gram-Schmidt-ONB-Unterraum
- best fit of linear combination of (2) functions
- Normalize Data and Regression Polynom
- Singulärwertzerlegung ℝ⁴*³ - SVD Example
- Singulärwertzerlegung ℝ² ³- Singular value decomposition
- non linear regression.js (study)
- nonlinear regression . py
Hautachsentransformation
Eigenwerte Eigenvektoren
Spline Interpolation
- Kubische Splines
- Kubische Splines LGS Matrix
- Kubische Splines Aufbau des LGS/der Matrix
- Kubische Spline Funktionen n Stützstellen
- Spline interpolation tridiagonal matrix (momente)
- Kubischer Spline Tridiagonal-Matrix (Moments)
- kubische Spline-Interpolation (mit Tridiagonal-Matrix)
- Quadratic Spline Interpolation
- Parameterkurve kubischer Splines
- Parameter-Kurve kubische Splines
- Bezier-Bernsteinpolynom
- Bezier-Cubic-Spline-Curve
- D'Arcy Thompson transformations
- Bezier Snoopy Splines
- Bezier-Spline-Curve (command version)
- Beziercurve b-splines.js
- Schach Dame-Figur (spline)
- Bezier-Spline Schachfigur Dame
- Bezierkurven Rotationkörper Bernsteinpolynome
- GeoGebra Bezier-Splines implementing und using
- Bezier-Splines implementing und using (surface of revolution)
Aufgaben
- Polynomfunktion bestimmen (kubische Parabel aus Punkten)
- PAQ Zerlegung
- Cramersche Regel oder Determinantenmethode
- Lagrange-Verfahren Extrema mit Nebenbedingungen
- Extrema 2 dimensionaler Funktionen z=f(x,y)
- Affine Transformation mit Geraden (Homogene Koordinaten)
- Restklassen Z/pZ in linearen Gleichungssystemen modulo p
- LGS Normalengleichung - |Ax-b|=> min
- Polynomfunktionen Vektorraum Basistransformation
- Gram-Schmidt-Verfahren
- Gram-Schmidt-Verfahren ℂⁿ
- Orthogonale Projektion R⁴ auf ONB U³
- Verkehrsnetz Einbahnstraßen Kapazitäten
- Verkehrsnetz Einbahnstraßen Durchfluß
- CAS Determinanten Entwicklung nach Laplace
- Least-Squares ℂ³-Gram-Schmidt-ONB-Unterraum-Projektion
- Affinität der affinen Ebene AG(2,R) Achse L
- Taylorpolynom (selbst) entwicklen (Taylor Polynomial)
- Cramersche Regel CAS-Lösung LGS
- Pseudo Inverse A = B C Zerlegung
- Singulärwertzerlegung - Singular value decomposition
Wirtschaftsmath
- Leontief In-Output Modell
- Produktionsmatrizen aus Graph für Rohstoff-Zwischen-Endprodukt
- ProduktionsMatrizen aus Tabelle für Rohstoff, Zwischen-,Endprodukt
- Übergangsmatrix aus Graph Wechselverhalten
- Abfüllstatistik FPVO
- Wachstumsfunktionen fitten (command/normalequation)
- Abschreibung linear-degressiv-digital (afa iterationlist)
- Leontief In-Output-Modell 4 Sektoren CAS
- Anova - einfaktorielle Varianzanalyse