Projection on a plane
# menu view --> 3D Graphic, drag and drop an OK button, put this code inside "On Click" Script Tab
#then clik on arrow at the left top corner, and then clik on the ok button
#parabolic Parametric:
p=slider(-2,2,0.01)
q=slider(-2,2,0.01)
PlanOffset=slider(-5,5,1)
StartV=-2*pi
EndV=2*pi
#orientation of the plane with respect to the X axis
α=Slider( -pi/2, pi/2, 0.01 )
# set to pi/4
SetValue(α,atan(1))
#orientation of the plane with respect to the Y axis
β=Slider( -pi/2, pi/2, 0.01 )
# set to pi/4
SetValue(β,atan(1))
####
#c: Circle((0, 0), 2)
#conn: Cone(c, 3)
Plan(x, y) = tan(α) x + tan(β) y + PlanOffset
# parabola
#f(x) = 1/x
#circle
f(x) = If(-2 ≤ x ≤ 2, sqrt(2 - x^2))
# first projection on an arbitrary plane ??
#f_{projected} = Curve(t, f(t), t tan(α) + f(t) tan(β) + PlanOffset, t, -10, 10)
# or projection X=x/Z and Y=y/Z ??
#SetValue(α,0)
#SetValue(β,0)
#f_{projected} = Curve(t / (t + f(t)), f(t) / (t + f(t)), t + f(t), t, -10, 10)
TogP=True
Checkbox( "TogP" )
# ################# end of code in the ok button
# put this code below in "update script Tab of the check box "TogP"
Execute[If[TogP,{"SetValue(α,atan(1))","SetValue(β,atan(1))","f_{projected} = Curve(t, f(t), t tan(α) + f(t) tan(β) + PlanOffset, t, -10, 10)"},{"SetValue(α,0)","SetValue(β,0)","f_{projected} = Curve(t / (t + f(t)), f(t) / (t + f(t)), t + f(t), t, -10, 10)"}]]
Texte issue du Livre Henri Paul de Saint-Gervais
https://math.unice.fr/~dumitres/Saint-Gervais.pdf
Il s’agit bien sûr du début de la géométrie projective,
initiée par Gi- rard Desargues [Desa1639].
Au lieu de considérer une courbe F (x , y ) = 0 dans le plan de coordonnées (x , y ),
on considère une courbe dans le plan projectif de coordonnées homogènes [X : Y : Z ]
définie par une équa- tion polynomiale homogène en trois variables F (X , Y ,Z ) = 0.
Tout point du plan projectif pour lequel Z != 0 définit un point du plan affine
de coordonnées x = X/Z et y = Y /Z si bien que le plan projectif apparaît comme le plan
auquel on a ajouté la droite à l’infini Z = 0.
On comprend alors qu’une hyperbole du plan affine rencontre l’infini en deux points,
correspondant aux deux asymptotes, alors qu’une parabole est tangente à la droite à l’infini.
Ainsi, l’utilisation de la géométrie projective simpli- fie la situation de manière importante
et on revient à la situation initiale
Qu'est ce que ce plan projectif ?, est ce un plan dont on choisit arbitrairement l'orientation et sa position ?
et l'on projette alors la courbe sur ce plan ? ce qui ferait qu'en modulant l'orientation et la position du plan
on obtiendrait divers type de courbes, ou est ce autre chose ?