Trois points non alignés
ABC est un triangle rectangle en B tel que AB =13 et BC = 11.
FBDE est un carré de côté 6, avec F sur [AB] et D sur [BC].
Le point E appartient-il au segment [AC] ?
Exercices préférés pour la classe Danielle Eynard Bulletin APMEP n°519, mai 2016
Les points A, E et C ne sont pas alignés
10 démonstrations
Géométrie analytique : la droite (AC) a pour équation y = 11/13 x.
Le point E' d'abscisse 7 de la droite a pour ordonnée 77/13 ≈ 5,9 ≠ 6.
Les coordonnées du point E ne vérifient pas l'équation de la droite (AC).
Droites non parallèles : les trois points A, E, C ne sont pas alignés car les deux droites (AE) et (AC) ne sont pas parallèles. Les coefficients directeurs 6/7 et 11/13 sont distincts.
Vecteurs : dans le repère d'origine A, les vecteurs (13, 11) et (7,6) ne sont pas colinéaires, car les produits 13 × 6 et 11 × 7 sont différents.
Barycentre : si le point E était un barycentre de A et C, un calcul avec la fonction vectorielle de Leibniz à partir du point A montre qu'il existerait un nombre k tel que = k .
Contradiction vue ci-dessus avec les vecteurs de coordonnées (13, 11) et (7, 6) qui ne sont pas colinéaires :
les équations 13 k = 7 et 11 k = 6 n'ont pas de solution car 7/13 et 6/11 sont distincts. .
Angles
Angles inégaux : les trois points A, E, C ne sont pas alignés car les angles
BAE = 40,6° et BAC = 40,2° sont distincts.
Angle nul : l'angle CAE = 0,3° est n'est pas égal à 0.
Angle plat : l'angle AEC = 179° est différent de 180°.
Inégalité triangulaire : la somme AE + EC n'est pas égale à AC.
Avec GeoGebra, utiliser 3 décimales, et on trouve AE + EC = 17,03 distinct de AC = 17,029.
Thalès ; Les triangles ABC et AFE ne sont pas semblables : 6/7 est distinct de 11/13.
Homothétie : dans l'homothétie de centre A et de rapport 7/13, le triangle ABC a pour image AFE’ distinct du triangle AFE.
Il y aurait d'autres démonstrations...
Descartes et les Mathématiques - montrer un alignement