Ellipse d'Euler et centre du cercle d'Euler
- Auteur :
- Debart Patrice
Soit ABC un triangle acutangle, ni rectangle, ni équilatéral.
Considérons la conique de foyer H et de cercle directeur le cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O. Puisque les hauteurs (AH), (BH) et (CH) coupent ce cercle en des points , et
symétriques de H respectivement par rapport aux côtés (BC), (AC) et (AB), ces trois points permettent de construire les points de la conique en lesquels les côtés du triangle seront tangents à la conique.
On construit ainsi E1 intersection de () et (BC), de même E2 puis E3. Puisque Ω, le centre du cercle d'Euler, est le milieu entre les deux foyers O et H, c'est le centre de la conique, on peut donc construire trois autres points de la conique, symétriques de E1, E2 et E3 par rapport à Ω, et ainsi construire la conique.
Il est aussi possible de construire des symétriques par rapport à l'axe (OH).
Elle est donc tritangente en E1, E2 et E3 aux côtés du triangle. Elle a pour cercle principal, l'homothétique du cercle circonscrit par l'homothétie de centre H et de rapport , soit, le cercle d'Euler.
Remarque : avec GeoGebra, la construction d'une conique à centre est faite en désignant les deux foyers et le point E1. Il est aussi possible d'utiliser des cinq points E1, E2, E3 et deux symétriques.
Centre du cercle d'Euler
Le centre Ω, du cercle d'Euler, est le milieu entre les deux foyers O et H.
Détermination géométrique du centre du cercle d'Euler
On rappelle que , et les points où (), () et () coupent les côtés (BC), (CA), (AB) (ce sont les points de contact des côtés de ABC avec la « conique d'Euler »),
puis R, S, T les milieux de (), (), ().
Alors les droites (AR), (BS), (CT) concourent en Ω.
Encyclopédie des points du triangle
Avec GeoGebra, le point X(5), centre du cercle d'Euler.du triangle ABC, s'affiche avec l'instruction : TriangleCentre[A,B,C,5]
Cercle d'Euler
Descartes et les Mathématiques - Ellipse d'Euler