Torus Kurven-Netze
- Autor:
- Walter Füchte
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Die Rotationen um die Achse eines Torus und die Rotationen längs der "kleinen Kreise" (das sind die Schnitte der Ebenen durch die Achse mit dem Torus) sind vertauschbar, sie erzeugen also eine kommutative Bewegungsgruppe des Torus. Modulo verhält sich diese Gruppe wie die Translationen der Ebene, bzw. wie die Vektor-Addition in der Ebene. Es ist daher kein Wunder, dass das abgebildete ebene Gitter auf dem Torus ebenfalls ein Kurven-Netz erzeugt. Geht das Gitter in der Ebene wesentlich über hinaus, so überschneiden sich die Kurven auf dem Torus.
Die 4 Parallelen-Scharen in der Ebene und ihre Bilder auf dem Torus bilden ein Sechseck-Netz mit Diagonalen: je drei der Kurvenscharen bilden ein Sechsecknetz, die 4. Kurvenschar ist jeweils diagonal.
Ist das Parallelogramm in der Ebene ein Rechteck , so sind bei einem geeigneten Verhältnis von r und R sowie von m und n die Kurven aller 4 Kurvenscharen Kreise: es sind dies die "Längskreise", die "kleinen Kreise" sowie die VILLARCEAU-Kreise. Formeln zum Torus: wikipedia
Die Parametrisierung des Torus und der Kurven findet man auf dem Arbeitsblatt torus and curve von Mathieu Blossier.
Von Sechseck-Netzen handelt unser GeoGebra-book Sechsecknetze.