Caratteristiche della parabola: il vertice
Vogliamo ora capire come trovare le coordinate di un punto particolare della parabola: il suo vertice. Piuttosto che imparare a memoria delle formule, cerchiamo di ragionare conoscendo le sue caratteristiche. La caratteristica più importante del vertice è che per il vertice passa un asse di simmetria della parabola, cioè una retta rispetto la quale la metà destra della parabola "si specchia" in quella sinistra.
Vediamo nella seguente animazione come questo può aiutarci a trovare, data una parabola generica di espressione la formula per la coordinata del suo vertice: .
UNA FORMULA GENERALE PER LA y DEL VERTICE
Abbiamo visto che il modo più semplice per trovare la del vertice è sostituire il valore della sua nella parabola e trovare l'ordinata corrispondente.
Se invece di sostituire un valore specifico di una parabola precisa, sostituiamo la formula generale di , troveremo la formula generale di .
In altre parole sappiamo che in una parabola generica la coordinata del vertice si ottiene facendo . Sostituendo questo valore generico nell'equazione della parabola troviamo che la sua corrispondente vale:
svolgendo i conti otteniamo:
al numeratore possiamo riconoscere il cambiato di segno, quindi possiamo dire che l'espressione della del vertice è
NOTA: A noi questa formula non servirà molto, perché potremo sempre calcolare usando la sua formula e poi sostituendo il risultato nell'equazione della parabola, ma il procedimento che abbiamo usato per ricavarla, cioè ragionare sulle equazioni generali, è utile per imparare un approccio che potrà sempre esserci utile. Il prossimo paragrafo ne è un esempio significativo.
PROPOSTA DI ESERCIZIO
Un altro modo per ricavare le coordinate generiche del vertice (quindi la formula generale per esse) sarebbe potuto essere considerare la parabola generale ed applicare ad essa il metodo di completamento del quadrato.
Provaci! In questo modo dovresti trovare di nuovo l'espressione generale della traslazione che ha subito la parabola, cioè delle coordinate del "nuovo" vertice, che abbiamo ottenuto al paragrafo precedente.
SOLUZIONE (da guardare DOPO aver provato)
Isolo i termini in portando a primo membro e raccolgo per mettere in evidenza il quadrato...
...metto in atto i soliti trucchi per far apparire un quadrato di binomio a secondo membro, equilibrando al primo quando necessario...
a primo membro sviluppo i conti, al secondo riconosco il quadrato di binomio
Infine metto in evidenza, nella forma finale, le coordinate del vertice
Questa equazione è della forma
dove
Quindi è la parabola traslata con il vertice in .