Primo Teorema di Euclide (mediante equivalenza di aree)
Primo Teorema di Euclide: "Il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa
Passo 1: Sia un triangolo rettangolo in . Passo 2: Sia un quadrato avente il cateto come lato. Passo 3: Traccia il prolungamento di dalla parte di e la retta contenente l'altezza relativa all'ipotenusa e sia il loro punto di intersezione. Passo 4: Il triangolo è rettangolo in per costruzione perchè entrambi complementari a . Passo 5: perché opposti al vertice . Passo 6 : Il triangolo è congruente ad per il II criterio, infatti è rettangolo per costruzione, ha sempre per costruzione e come conseguenza del passo precedente. Passo 7 : Quindi . Passo 8 : Traccia la retta passante per e parallela all'altezza e sia il punto in cui interseca . Si ottiene il parallelogramma che è equivalente al quadrato perchè hanno la stessa base e la stessa altezza . Passo 9 : Sia appartenente alla retta e tale che . Passo 10 : Detta la proiezione di sulla retta , il rettangolo è equivalente al parallelogramma perché hanno la stessa base e la stessa altezza , proiezione di sull'ipotenusa. Per la proprietà transitiva il rettangolo è equivalente al quadrato c.v.d.