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Regula falsi und Newton-Verfahren

Regula falsi

Bei dieser Methode wird die Nullstelle einer Funktion schrittweise durch das Schneiden von Sekanten mit der x-Achse angenähert. Bei dem gezeigten Applet wird die Nullstelle der Funktion f(x) = x2 - 2 im Intervall [-0,5; 2] angenähert. Aufgaben:
  1. Verändere den Schieberegler für die Anzahl n der ersten drei Iterationen. Welchen Wert ersetzt  xbei der ersten Iteration? Erkläre mit eigenen Worten die schrittweise Berechnung der Näherungswerte x3, x4, ... .
  2. Ermittle die Näherungswerte für die linke Nullstelle. Setze dafür x1 = -2 und x2 = -1.  Welchen Wert ersetzt x3 in diesem Fall bei der weiteren Berechnung? Begründe.
  3. Verändere die Anfangswerte x1 und x2. Wie verändern sich dadurch die weiteren Näherungswerte? Zoom bei Bedarf in die Konstruktion hinein (Ziehen mit der rechten Maustaste oder Strg-Scrollrad).
  4. Gib in der Eingabezeile folgende Funktion ein und ermittle näherungsweise die Nullstellen im angegebenen Intervall. a) f(x) = -x2 + 2 im Intervall [-2; -1];      b) f(x) = x4 - 2x3 + x - 1 im Intervall [1,5; 2]

Der Übergang von der Regula falsi zur Newton'schen Näherung

Aufgaben:
  1. Durch welche Umformung ist die Iterationsformel für die Regula falsi in dem unten gezeigten Applet verändert worden?
  2. Wie heißt der Ausdruck im Nenner des letzten Bruchs?
  3. Stelle den Schieberegler auf n = 2 und bring anschließend die beiden Anfangswerte x1 und x2 zur Deckung.