Regula falsi und Newton-Verfahren
Regula falsi
Bei dieser Methode wird die Nullstelle einer Funktion schrittweise durch das Schneiden von Sekanten mit der x-Achse angenähert.
Bei dem gezeigten Applet wird die Nullstelle der Funktion f(x) = x2 - 2 im Intervall [-0,5; 2] angenähert.
Aufgaben:
- Verändere den Schieberegler für die Anzahl n der ersten drei Iterationen. Welchen Wert ersetzt x3 bei der ersten Iteration? Erkläre mit eigenen Worten die schrittweise Berechnung der Näherungswerte x3, x4, ... .
- Ermittle die Näherungswerte für die linke Nullstelle. Setze dafür x1 = -2 und x2 = -1. Welchen Wert ersetzt x3 in diesem Fall bei der weiteren Berechnung? Begründe.
- Verändere die Anfangswerte x1 und x2. Wie verändern sich dadurch die weiteren Näherungswerte? Zoom bei Bedarf in die Konstruktion hinein (Ziehen mit der rechten Maustaste oder Strg-Scrollrad).
- Gib in der Eingabezeile folgende Funktion ein und ermittle näherungsweise die Nullstellen im angegebenen Intervall. a) f(x) = -x2 + 2 im Intervall [-2; -1]; b) f(x) = x4 - 2x3 + x - 1 im Intervall [1,5; 2]
Der Übergang von der Regula falsi zur Newton'schen Näherung
Aufgaben:
- Durch welche Umformung ist die Iterationsformel für die Regula falsi in dem unten gezeigten Applet verändert worden?
- Wie heißt der Ausdruck im Nenner des letzten Bruchs?
- Stelle den Schieberegler auf n = 2 und bring anschließend die beiden Anfangswerte x1 und x2 zur Deckung.