Strecken von Funktionsgraphen
Herzlich willkommen! :)
In dieser Lerneinheit wirst du ganz selbstständig -- bei Fragen kannst du dich natürlich an deine Mitschüler oder deinen Lehrer wenden -- die Streckung und Spiegelung von Funktionsgraphen erarbeiten und einüben. Wie im vorherigen Kapitel, dem Verschieben von Funktionsgraphen, wirst du GeoGebra Applets nutzen. Solltest du deren Funktionsweise nicht mehr so genau im Kopf haben, so nutze den folgenden Link zum Kapitel "Verschieben", um noch einmal nachzusehen. Es sei auch an dieser Stelle noch einmal ausdrücklich betont, dass die GeoGebra-Funktionen nur als Hilfsmittel zur Aufgabenbearbeitung verwendet werden sollten. Eine Bearbeitung der Aufgaben "zu Fuß", also mit Stift, Papier und Hirnschmalz, ist grundlegende Voraussetzung für das Verstehen und erfolgreiche Anwenden des Stoffs! ;-) Bevor wir durchstarten können, sollten wir uns aber kurz noch einmal ins Gedächtnis rufen, was wir schon zu dem Thema wissen, um einen lockeren Einstieg zu finden. Viel Erfolg und Spaß! ===================================================================== ===================================================================== INHALT 1) Warm Up 2) Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen 1. Streckung in y-Richtung (I) Potenzfunktionen (II) Ganzrationalen Funktionen (III) Spiegelung an der x-Achse 2. Streckung in x-Richtung (I) Potenzfunktionen (II) Ganzrationalen Funktionen (III) Spiegelung an der y-Achse 3. Verknüpfung von Verschiebungen und Streckungen 3) Übungen ===================================================================== =====================================================================1) Warm Up!
Erinnere dich zurück an die...
... Quadratischen Funktionen der Form und
... die allgemeine Sinusfunktion .
Aufgabe:
Erkläre kurz, welchen Einfluss der Parameter jeweils auf den Verlauf der Graphen hat. Du darfst auch das GeoGebra Applet unten verwenden und/oder dich mit deinem Nachbarn besprechen, wenn du dir nicht mehr sicher bist.
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2) Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
1. Streckung in y-Richtung
(I) Potenzfunktionen
Zu Beginn wollen wir uns einfache Potenzfunktionen ansehen und nehmen folgende Einschränkung vor:
Aufgabe:
a) Betrachte die Graphen unten und variiere sowohl den Exponenten als auch den Koeffizienten . Überlege dir, welche Veränderung durch deine Wahl von am Graphen von vorgenommen wurde, damit der Graph von ensteht.
Als grafische Hilfe kannst du dir feste Punkte und Pfeile einblenden lassen.
b) Vergleiche die beiden Funktionsgleichungen und überlege dir, aus welchen beiden Bestandteilen sich die Gleichung der Funktion zusammensetzt (Lösung unten).
c) Blende nun die Wertetabelle ein und vergleiche die Funktionswerte von und . Beschreibe die Lage der orangen Punkte zur -Achse im Vergleich zur Lage der blauen Punkte zur -Achse (Lösung unten).
d) Welcher Punkt nimmt eine Sonderstellung ein? Erkläre mithilfe der Wertetabelle, wie die Sonderstellung zustande kommt (Lösung unten).
(II) Ganzrationale Funktionen
Betrachtet werden im Folgenden die Graphen ganzrationaler Funktionen. Es wird sich zeigen, dass die Übertragung der obigen Ergebnisse vergleichbar leicht von der Hand gehen wird, wie bei der Verschiebung von Funktionsgraphen. ;-)
Aufgabe:
a) Gib eine beliebiges Polynom ein (grünes Feld); die zugehörige ganzrationale Funktion heißt . Gib ein weiteres Polynom ein (blaues Feld); die zugehörige Funktion heißt . Diese soll folgende Bedingung erfüllen:
Der Graph von geht durch Streckung des Graphen von in -Richtung mit Faktor 2 hervor.
Tipp: Du hast im Warm Up schon mit der Sinusfunktion gearbeitet. Beachte die Reihenfolge, nach der die Rechenoperationen ausgeführt werden, und übertrage sie auf die ganzrationalen Funktionen.
Aktiviere nun das Kontrollkästchen "Schieberegler, h(x)". Dir wird nun der Graph der Funktion angezeigt.
b) Solltest du die Funktionsgleichung von schon in a) richtig gehabt haben, so kannst du direkt zu c) übergehen. Falls nicht, so bearbeite b) fertig.
Aktiviere das Kontrollkästchen "Funktionsgleichung h(x)". Vergleiche den Term von mit dem von (grünes Feld). Überlege dir, wie der Funktionsterm von aus dem von hervorgeht. Überprüfe deine Vermutung, indem du die Hilfe einblendest.
c) Blende die Hilfe und die Wertetabelle ein. Erkläre mithilfe der Wertetabelle, weshalb es wichtig ist, dass hier im Funktionsterm die Klammern stehen.
Tipp: Du kannst dich auch an der Gleichung orientieren, die du in Aufgabe b) zur Streckung von Potenzfunktionen aufgestellt hast.
(III) Spiegelung an der x-Achse
Den Abschluss dieses Abschnitts bilden an der -Achse gespiegelte Graphen. Da du die Spiegelung bei einigen Funktionstypen bereits kennengelernt hast, wird dieser Abschnitt relativ kurz gehalten ;)
Erinnere dich zunächst an die quadratischen Funktionen der Form . Wir haben bereits gelernt, dass die Parabel für bauchiger und für schmaler ist. Außerdem weißt du schon, dass eine Parabel für positives nach oben und für negatives nach unten geöffnet ist.
Genau dieser letzte Aspekt, nämlich die Betrachtung des Vorzeichens von liefert uns den Hinweis darauf, wie man im Allgemeinen einen Funktionsgraphen an der -Achse spiegeln bzw. woran man eine Spiegelung an der -Achse erkennen kann.
Aufgabe:
a) Überlege dir, wie man die Sinuskurve an der -Achse spiegeln konnte. Überprüfe grafisch deine Überlegung im GeoGebra-Applet unten anhand einer beliebigen Sinusfunktion (grünes Feld). Aktiviere im Anschluss das Kontrollkästchen "g(x)".
Deaktiviere das Kontrollkästchen wieder.
b) Gib nun ein beliebiges Polynom ein (grünes Feld) - die zugehörige ganzrationale Funktion wird mit bezeichnet - und einen Funktionsterm (blaues Feld), der zu einer Funktion gehören soll, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse hervorgeht.
Blende zur Überprüfung den Funktionsterm mithilfe des Kontrollkästchens ein.
c) Blende Punkte, Pfeile und Wertetabelle ein. Vergleiche die Funktionswerte von und . Versuche durch die grafischen Hilfe und die Funktionswerte den Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen in einer allgemeinen Gleichung festzuhalten (Lösung unten).
Hole dir das Arbeitsblatt bei deinem Lehrer, um das gerade Gelernte zu sichern! Danach geht es zum Endspurt :) Als letztes steht nun noch die Streckung in -Richtung auf dem Plan.
Hinweise:
Du kannst die Applets oben als Hilfsmittel benutzen. Zeichne farbige Pfeile mit geeigneter Beschriftung in das Koordinatensystem und die Wertetabelle ein, um zu verdeutlichen, was bei der Streckung in -Richtung mit dem Graphen und den Funktionswerten geschieht.
2. Streckung in x-Richtung
Anders als bei den bisherigen Betrachtungen, die wir gemacht haben, können wir bei der Streckung in
-Richtung nur auf wenig Vorwissen zurückgreifen, weswegen dieser Abschnitt die meisten Verständnisschwierigkeiten in sich birgt. Du solltest dir für die Bearbeitung also genügend Zeit nehmen und alle Schritte so gut wie möglich nachvollziehen und durchdenken.
(I) Potenzfunktionen
Bevor wir mit den Potenzfunktionen beginnen, sollten wir - wie so oft schon - einen Blick zurück werfen, nämlich auf die Sinusfunktion. Bei der Analyse von Sinuskurven hatten wir bereits mit der Streckung in
-Richtung zu tun.
Aufgabe:
Überlege dir, von welchem Parameter die Streckung der Sinuskurve in -Richtung abhing, und erkläre, wie man den Parameter wählen musste, damit die Sinuskurve in -Richtung gestreckt bzw. gestaucht wird (Lösung unten).
Du kannst das GeoGebra-Applet als Hilfe verwenden und dich mit deinem Nachbarn besprechen.
Vereinfacht können wir uns also auf die Funktion und die Funktion beschränken.
Aufgabe:
a) Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen und herstellt (Lösung unten).
b) Gib den Streckungsfaktor an, mit dem der Graph von in -Richtung gestreckt wird (Lösung unten).
Nachdem wir uns jetzt das Vorwissen wieder ins Gedächtnis gerufen haben, können wir zu den Potenzfunktionen übergehen.
Im Folgenden betrachten wir erst einmal nur .
Aufgabe:
a) Variiere die Schieberegler für den Exponenten und den Parameter . Beschreibe (mündlich), wie sich der Graph der Funktion (rot) im Vergleich zum Graphen von (schwarz) verändert.
b) Notiere die Funktionsgleichung von . Überprüfe deine Lösung, indem du die Gleichung einblenden lässt. Erkläre, wie der Funktionsterm zustande kommt und worauf man unbedingt achten muss. Du darfst den Hinweis verwenden, wenn du nicht auf das richtige Ergebnis kommst (Lösung unten).
Hinweis: Orientiere dich an den Vorüberlegungen, die wir zur Sinusfunktion gemacht haben! ;)
c) Stelle nun die Regler auf und . Blende die Pfeile und Wertetabelle ein (du musst wahrscheinlich zoomen, um alles richtig erkennen zu können). Vollziehe die folgende Erklärung nach. Du kannst dir eine Hilfe zur Wertetabelle einblenden lassen.
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Erklärung (exemplarisch für zwei Funktionswerte: und ):
Es gilt: .
Wollen wir berechnen, so müssen wir also berechnen.
(1) Zunächst starten wir bei (bzw. ).
(2) Nach obiger Gleichung muss man nun zuerst den -Wert mit multiplizieren.
Hier erhalten wir also (bzw. ).
(3) Zum neuen -Wert aus (2) berechnen wir nun den Funktionswert von (bzw. .
(4) Den in (3) berechneten Funktionswert tragen wir nun als Funktionswert zum ursprünglichen -Wert an.
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Wir erkennen, dass die Punkte auf dem Graphen von weiter von der -Achse wegbewegt werden (Schritt (4): Pfeile zeigen weg von der -Achse). Der Graph wird also gestreckt.
d) Nimm jetzt die Einstellung vor. Erkläre (schriftlich) analog zu c), wieso eine Stauchung des Graphen von vorliegt. Vergleiche deine Lösung mit einem Mitschüler.
(II) Ganzrationale Funktionen
Da du dich im vorherigen Abschnitt ausführlich mit der Streckung in -Richtung beschäftigt hast, dürfte der Schritt zu den ganzrationalen Funktionen ein Klacks werden! :)
Die Ergebnisse aus (I) lassen sich übertragen. Wir machen uns das anhand eines Beispiels plausibel.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion . Ihr Graph soll mit dem Faktor 3 in -Richtung gestreckt werden. Nutze die GeoGebra-Applets unten als Hilfsmittel.
a) Bestimme den Parameter und begründe, ob eine Streckung oder Stauchung des Graphen von vorliegt.
b) Bestimme die Funktionsgleichung zur Funktion , deren Graph aus dem von durch die obige Streckung hervorgeht (Lösung unten).
Grafikfenster zu a)
CAS zu Aufgabe b)
Lösung:
(III) Spiegelung an der -Achse
Da wir bislang nur betrachtet haben, ist es wenig überraschend, dass die Spiegelung eines Graphen an der -Achse vom Vorzeichen des Parameters abhängt.
Aufgabe:
a) Gib ein beliebiges Polynom ein (grünes Feld). Die zugehörige Funktion heißt .
b) Gib ein Polynom ein (blaues Feld), das zu einer Funktion gehört, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse hervorgeht.
Hinweis: Wenn du nicht auf die Lösung kommst, blende die gesuchte Funktionsgleichung von ein und überlege dir, wie man vom Funktionsterm von zum Funktionsterm von kommt.
c) Blende nun den Graphen von , Punkte, Pfeile und die Wertetabelle als Hilfsmittel ein. Erkläre anhand der Hilfsmittel, wie es zur vorliegenden Spiegelung kommt (Lösung unten).
Juhu! Es ist wieder an der Zeit dein Wissen auf's Papier zu bringen!
Das passende Arbeitsblatt möchte bei deinem Lehrer abgeholt werden! ;-)
Hinweis: Verwende die Applets oben und trage an geeigneten Stellen farbige Pfeile im Koordinatensystem und der Wertetabelle an, um das Vorgehen zu veranschaulichen.
3. Verknüpfung von Verschiebungen und Streckungen
Du hast dir im vorherigen Kapitel schon Gedanken dazu gemacht, welche Reihenfolge bei der Verschiebung von Funktionsgraphen eingehalten werden sollte. Es ist naheliegend sich zu überlegen, wie es beim Strecken von Funktionsgraphen und bei der Verknüpfung von Verschieben und Strecken ist.
Aufgabe:
a) Rufe dir ins Gedächtnis, wie die Reihenfolge bei den Verschiebungen war und wie diese begründet wurde (wie gut, dass du ein Arbeitsblatt dazu hast!).
b) Gegeben ist die Funktion . Ihr Graph soll mit dem Faktor 3 in - und mit dem Faktor 2
in -Richtung gestreckt werden. Der neue Graph gehört zu einer Funktion .
- Gib eine allgemeine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen und darstellt (Lösung unten).
- Überlege dir, wie der Graph nach der Streckung in -Richtung aussehen wird. Überprüfe deine Überlegung im GeoGebra-Applet.
- Überlege dir, wie der Graph von aussieht. (Du hast die Streckung in -Richtung ja schon gemacht ;) )
c) Erkläre, weshalb es beim Strecken auch so ist, dass zuerst in - und dann in -Richtung gestreckt wird (Lösung unten).
Hinweis: Betrachte hierfür die Funktionsgraphen und die Wertetabelle im GeoGebra-Applet.
Abschließend wollen wir nun noch sämtliche Veränderungen an einer Funktion vornehmen und uns darüber Gedanken machen, in welcher Reihenfolge Verschiebungen und Streckungen vorgenommen werden.
Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion . Der Graph der Funktion soll aus dem von hervorgehen durch Verschiebung um 1 Einheit nach oben und 4 Einheiten nach links und Streckung mit dem Faktor 0.5 in -Richtung und Faktor 2 in -Richtung (Lösungen unten).
a) Gib die Funktionsgleichung der Form an.
b) Schreibe in der Gleichung aus a) die rechte Seite aus.
c) Betrachte den Funktionsterm aus b) und beschreibe, in welcher Reihenfolge die Rechenoperationen vorgenommen werden (Tipp: KlaPoPuS).
d) Verallgemeinere deine Beobachtungen aus c) und gib eine Reihenfolge für das Strecken und Verschieben von Funktionsgraphen an.
e) Überlege dir, an welchen Stellen die Spiegelungen an der - sowie der -Achse zum Tragen kommen.
Hinweis: Vergleiche mit der allgemeinen Sinusfunktion! (Buch S. 55)
!!Achte auch hier darauf zwischen und zu unterscheiden!! Bei Verwendung der Funktionsgleichung
bleibt die Reihenfolge aus d) bestehen! (Warum? ;) )
Wieso sitzt du noch hier? Du kennst das Stoppschild mittlerweile! Schnapp dir das Arbeitsblatt von deinem Lehrer ;)
Hinweis:
Für die Funktionsgleichung und die Skizze des Graphen kannst du natürlich die CAS- und die Grafik-Funktion von GeoGebra verwenden.
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Herzlichen Glückwunsch du hast den Theorieteil gemeistert! :) Zeit für die praktische Umsetzung des Gelernten!
===================================================================== =====================================================================3) Übungen
Hole dir das Übungsblatt von deinem Lehrer.
Im Folgenden findest du Hinweise und GeoGebra Tools (mit Kurzanleitung), die du verwenden kannst, um deine Lösung zu überprüfen, oder die dir bei der Lösungsfindung helfen können. Es gibt auch kleine Zusatzaufgaben, an deren Lösung du dich wagen solltest, um dein Verständnis für den Stoff zu vertiefen.
!!! VERSUCHE ZUERST DIE AUFGABEN OHNE HILFSMITTEL UND HINWEISE ZU LÖSEN !!! -- Für Hinweise bitte weiterscrollen! --
Hinweise und Lösungen =====================================================================Aufgabe 1)
Lösung zu Teilaufgabe a):
(1) <=> (Parabel)
(2) <=> (periodische Funktion)
(3) <=> (gebrochen-rationale Funktion; Definitionslücke)
(4) <=> (Exponentialfunktion)
Hinweis zu Teilaufgabe b):
zu :
- Liegt eine Normalparabel vor?
- Öffnung
- Lage des Scheitelpunkts
zu :
- Periode
- Amplitude
- Wo ist die "Mittellinie"? -> Verschiebung in -Richtung
zu :
- senkrechte Asymptote -> Definitionslücke
- waagrechte Asymptote -> Verschiebung in -Richtung
-
zu :
- waagrechte Asymptote von Exponentialfunktionen -> Verschiebung in -Richtung
- Spiegelung?
- Der Graph wurde in -Richtung verschoben
- Der Graph wurde nicht gestreckt