Globalverlauf ganzrationaler Funktionen
- Autor:
- Simone Bast
- Thema:
- Funktionen
Damit man sich noch bevor man irgendwelche Dinge berechnet ein Bild der ganzrationalen Funktion machen kann, betrachtet man den Globalverlauf. Darunter verstehen wir die Beantwortung der beiden folgenden Fragen:
- Woher kommt die Funktion (von links unten oder von links oben)?
- Wohin verläuft die Funktion (nach rechts unten oder rechts oben)?
Die folgende Abbildung zeigt eine ganzrationale Funktion 2ten Grades f(x)=ax^2+bx+c. Die Koeffizienten können mit Hilfe der Schieberegler verändert werden. Finden Sie eine allgemeine Gesetzmäßigkeit für den Globalverlauf, d.h. finden Sie die passende Ergänzung für die folgenden vier Sätze:- Die Funktion kommt von links unten und verläuft nach rechts unten, wenn...
- Die Funktion kommt von links unten und verläuft nach rechts oben, wenn...
- Die Funktion kommt von links oben und verläuft nach rechts unten, wenn...
- Die Funktion kommt von links oben und verläuft nach rechts oben, wenn...
Beachten Sie, dass möglicherweise nicht alle 4 Fälle vorkommen!
Die Bewertung des Globalverlaufes ist natürlich auch für ganzrationale Funktionen höheren Grades möglich. Exemplarisch betrachten wir im Folgenden ganzrationale Funktionen bis zum Grad 5 und versuchen anschließend, eine allgemeingültige Regel zu formulieren.
Die folgenden Applets zeigen nacheinander jeweils eine ganzrationale Funktion 3ten, 4ten und 5ten Grades. Vervollständigen Sie für jede Funktionenklasse nochmals die 4 Sätze:
- Die Funktion kommt von links unten und verläuft nach rechts unten, wenn...
- Die Funktion kommt von links unten und verläuft nach rechts oben, wenn...
- Die Funktion kommt von links oben und verläuft nach rechts unten, wenn...
- Die Funktion kommt von links oben und verläuft nach rechts oben, wenn...
Beachten Sie auch hier, dass möglicherweise nicht immer alle 4 Fälle vorkommen!
ganzrationale Funktion 3ten Grades: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
ganzrationale Funktion 4ten Grades: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
ganzrationale Funktion 5ten Grades: f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+g
Formulieren Sie abschließend eine allgemeine Aussage zum Globalverlauf von ganzrationalen Funktionen indem Sie folgende Sätze vervollständigen: