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内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ

内分外分からメネラウスの定理へ

実際には、これらの図を順番にたどったのではなくて、むしろ逆で、 極と極線を調べていたら、チェバの定理に至り、さらに調和列点に至り、それは内分と外分だった。 その作図を調べていたら、結局メネラウスの定理になった。 そして、それはチェバの定理の証明だった。 まとめると、 メネラウスの定理→チェバの定理→内分外分→チェバ→と循環している。

内分と外分の関係。ただし、B’は作図でも出せる。この作図にはメネラウスの定理やチェバの定理が見える。

内分外分からメネラウスの定理へ

内分と外分の関係を式に表すと、・・・(1) メネラウスの定理は・・・(2) (1)を(2)に代入すると、 となり、これはチェバの定理を示している。

メネラウスの定理。調和共役点とは内分点と外分点のこと。

メネラウスの定理の証明

△AEF∽△CKFより、AE:CK=FA:CFだから、・・・(1) △EBD∽△CKDより、EB:BD=KC:CDだから、・・・(2) (1)×(2)から、 CKを約分するとメネラウスの定理が出てくる。

チェバの定理

チェバの定理の証明

△ABFと△AFCについてメネラウスの定理を当てはめる。 ・・・(1) ・・・(2) なので、(1)(2)をかけ合わせて、約分すると  これはチェバの定理。 さらに、EGとBCの交点をHとすると、 メネラウスの定理により  これとチェバの定理をかけ合わせると、 となって、内分と外分の関係が導かれる。

真ん中の点は何か?

これらの図で気になるのが、真ん中の交点。 それは、これらの三角形の極だった。 この極から極線が出てくる。