Potenzfunktion mit natürlicher Potenz
Potenzen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen
In dieser Aufgabe geht es darum zu verstehen, wie sich die Hochzahl n auf das Aussehen des Graphen der Funktion f(x) = a * xn + b auswirkt.
Ein konkretes Beispiel dafür sind die beiden Funktionen f(x) = x2+1 und g(x) = -4x3-2. Wie unterscheiden sich die beiden? Um diese Frage beantworten zu können, sehen wir uns die Unterschiede von f und g im Detail an.
Wir haben drei Parameter, die wir in a xn + b untersuchen können:
- Die Hochzahl n
- Den Parameter a und
- Den Parameter b.
- Wie lautet die Funktion f(x) mit diesen Parametern?
- Verändere nun den Wert von b und beobachte was mit dem Graphen geschieht.
- Für welchen Wert von b geht der Graph genau durch den Punkt (0/0)?
- Wie lautet die Funktion dann?
Veränderung von b untersuchen
Änderungen am Parameter a
Jetzt verändern wir den Parameter a. Zuerst kontrolliere bitte, dass a = 2, b = -3 und n = 2 ist.
- Was passiert, wenn a immer größer wird? Wie verändert sich der Graph?
- Versuche nun, a kleiner als 0 zu machen. Was passiert mit dem Graph, wenn a < 0 ist?
- Kannst du a und b so einstellen, dass der Graph genau durch 0/0 geht und nach unten geklappt ist?
- Wie lautet die Funktion nun?
Veränderung von a untersuchen
Änderungen an der Hochzahl n
Jetzt verändern wir die Hochzahl n. Zuerst kontrolliere bitte, dass a = 2, b = -3 und n = 2 ist.
- Was passiert, wenn n größer wird? Wie verändert sich der Graph?
- Schiebe nun langsam n von ganz links nach ganz rechts. Was beobachtest du für n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 und n = 6?
- Sind sich die Graphen für n = 2, n = 4 und n = 6 ähnlich? Wenn ja, warum?
- Sind sich die Graphen für n = 1, n = 3 und n = 5 auch ähnlich? Wenn ja, warum?
Veränderungen der Hochzahl n untersuchen
Frage 1
Für gerade Hochzahlen n ist der Graph der Funktion f(x) = xn ...
Frage 2
Für ungerade Hochzahlen n ist der Graph der Funktion f(x) = xn ...
Frage 3
Wenn a < 0 wird, zeigt sich das im Graphen der Funktion f(x) = a xn ...