FUNCIÓN: El Movimiento
Acercándonos al Concepto de Función
Uno de los conceptos más importantes en el universo matemático es el de FUNCIÓN. Podemos decir que él está presente en todo lo que nos rodea, cada situación cotidiana puede ser representada por un modelo matemático, que llamamos relación funcional. o simplemente Función.
En la Edad Media el estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento. Nicolás de Oresme (1323-1392), fue uno de los primeros en realizarlo representando en unos ejes coordenados gráficos la relación entre el cambio de la velocidad y el tiempo. 3 siglos después Galileo Galilei retoma este trabajo y a partir de ese momento el concepto de función fue evolucionando hasta que, a comienzos del siglo XIX, en 1837, Dirichlet formuló la definición de función como relación entre dos variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos.
UNA FUNCIÓN en matemática es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto:
f : X → Y
x -> y = f(x)
Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se le llama Imagen. Se debe cumplir:
a) Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y.
b) A cada elemento x ϵ X le corresponde un único elemento y ϵ Y.
A la variable x se le llama variable independiente, mientras que a la variable y se le denomina variable dependiente.
Si dos elementos X y Y están relacionados por la función f, tenemos que y = f(x). Diremos pues que y es la imagen de x o que x es la anti imagen de y. Las anti imágenes son elementos del dominio.
Supongamos una relación entre dos conjuntos A y B, tal que cada a , elemento del primer conjunto A, se asocia con un b, elemento del segundo conjunto que es su cuadrado. Entonces tenemos una función f que podemos escribir así:
Algunas relaciones se asocian a modelos generales, por lo que podemos hablar de una Relación Lineal, Cuadrática, Exponencial, Logarítmica, etc. según su modelo sea ese tipo.
Con este recurso se pretende hacer una exploración y acercamiento conceptual a la Función, a partir de la relación que se puede establecer entre el Desplazamiento de un ciclista y el tiempo que le toma el realizarlo. Por los conocimientos de Física, sabemos que un cambio de posición, Desplazamiento, (X) se da en un tiempo (t) y así podemos hablar de la velocidad media: Suponiendo una trayectoria rectilínea y un movimiento sin aceleración, tendremos que para una velocidad dada , que nos muestra una relación lineal entre X y t.
EJERCICIO: Un ciclista se prepara para las competencias olímpicas haciendo recorridos sobre una carretera recta. Inicia su recorrido desde el reposo con cierta aceleración que mantiene hasta llegar al punto M, donde ha alcanzado una velocidad V. Desde este punto se empieza a estudiar su recorrido.
Puedes escoger una de 5 situaciones para observarla, escribiendo 1, 2, 3, 4,o 5 en la casilla SITUACIÓN. Entonces debes pulsar en MOVER para dar inicio a la animación. En cada caso te quedarán 3 puntos coordenados para establecer la relación que existe (si es posible con los datos).
Para una nueva situación debes introducir el 0 en la casilla INICIO. En cualquier momento puedes pausar o reiniciar la animación, pulsando la casilla que aparece en la esquina inferior izquierda.
Si quieres observar las cinco situaciones finales, al tiempo, debes introducir 6 en la casilla SITUACIÓN.
Cuando hayas observado las cinco situaciones realiza la evaluación que hay al final del recurso.
VELOCIDAD DEL CICLISTA
EVALUACIÓN
Con base en lo que observaste de las cinco situaciones propuestas, resuelve la siguiente evaluación.
Pregunta 1
La relación entre el Desplazamiento y el tiempo en las situaciones 1, 2 y 3 es
Pregunta 2
La Situación que no representa relación lineal entre las dos variables, es
Pregunta 3
Entre los 5 segundos y los 15 segundos, las situaciones que muestran la misma velocidad del ciclista son
Pregunta 4
Encuentre el modelo funcional que relaciona el Desplazamiento y el Tiempo en la Situación 2
Pregunta 5
Determine el modelo funcional que relaciona el Desplazamiento y el tiempo en las situaciones 1, 3 y 5
Pregunta 6
Suponiendo que en las cinco situaciones el ciclista se tardó el mismo tiempo en llegar al punto M ¿En cuál de ellas tuvo mayor aceleración? Justifique su respuesta
Pregunta 7
¿Cuál de las situaciones entrega un mayor desplazamiento durante los primeros 30 segundos?
Pregunta 8
¿Cuál de las situaciones muestra menor desplazamiento en los primeros 30 segundos?