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Triangolo mediano

Autore:Tomasi Alessandra
Si chiama triangolo mediano di un triangolo dato il triangolo che ha per vertici i punti medi dei suoi lati. Un triangolo e il suo mediano sono simili e hanno lo stesso inoltre il triangolo mediano risulta ruotato di 180° intorno a G rispetto al principale.
IpotesiTesi
  • ABC è triangolo;
  • AM=MC; BN=NC; AP=BP;
  • G è baricentro di ABC.
  • ABC e MNP sono simili
  • G è il baricentro di MNP
  • MNP è ruotato di 180° intorno a G rispetto ad ABC
Costruzione Disegnare un triangolo ABC; le sue mediane  BM, AN e CP; il suo baricentro G; il triangolo MNP; il punto di intersezione D tra BM e PN.
Dimostrazione Prima parte
  1. Il segmento MN congiunge i punti medi di due lati del triangolo ABC quindi AB=2MN;  e allo stesso modo BC=2PM e AC=2PN;
  2. i triangoli ABC e MNP hanno i lati in proporzione 2:1 quindi, per il terzo criterio di similitudine, sono simili.
Seconda parte
  1. Il segmento PN congiunge i punti medi di due lati del triangolo ABC quindi AC//PN;
  2. così risultano simili i triangoli ABM e PBD e i triangoli CBM e NBD e quindi:
  3. BM:BD=AM:PD   e    BM:BD=MC:ND;
  4. da cui per la transitività dell'ugualianza: AM:PD=MC:ND
  5. Ricordando che per ipotesi AM=MC si conclude che PD=ND ossia che D è punto medio di PN
  6. Così la mediana BM di ABC coincide con la mediana MD di MNP e analogamente coincidono anche le altre due mediane  e quindi G è baricentro di MNP.
Terza parte
  1. La tesi deriva dal fatto che i due triangoli hanno i lati paralleli e il baricentro coincidente.
c.v.d.

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