４次の対称群と交代群
- 作成者:
- Bunryu Kamimura
交代群Ａ４は遇置換全体でＳ４の正規部分群。置換の結果と行列は自然に対応している。
遇置換（交代群）の求め方
交代群を見つけるために、最初は対称な行列を探していた。
元が８つまでの部分群は見つかったけど、元１２個の部分群は見つからない。
そこで４次の置換群を書き出して表を作ってみた。
すると、置換した結果を見ていると行列と対応するのではないかと思い付き、確かめてみた。
ぴったり一致。（ただし積は上×左）
つまり、置換の結果をそのまま行列にするだけだった。
１３２４は１列目１行、２列目３行、３列目２行、４列目４行と考えれば自然に対応ができる。
遇置換は行列の上ではあまり対称ではないけれど、
４次方程式が解けるのは、√をとった式が交代群で不変。
次に３乗根をとった式がクラインの四元群で不変。
ということになる。
交代群Ａ４はＳ４の正規部分群で、クラインの４元群はＡ４の正規部分群となっている。
４次の交代群とその正規部分群
クラインの４元群
S4の部分群
位数 同値関係（共役）での代表元 共役な部分群の個数
1 { e } 1
2 { e , (12) } 6
{ e , (12)(34) } 3
3 { e , (123) , (132) } 4
4 { e , (1324) , (12)(34) , (1423) } 3
{ e , (12) , (34) , (12)(34) } 3
{ e , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) } 1
6 文字 4 を動かさない置換 4
8 {(12), (1324) } 3
12 A4 1
24 S4 1
計 30