Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Třída

Úvod

Úvodní pojmy:

Hippokratés z Chiu se v rámci hledání řešení kvadratury kruhu (nalezení eukleidovské konstrukce čtverce - přesněji jeho strany - který má stejný obsah jako daný kruh) zabýval možnostmi kvadratury speciálních zakřivených útvarů - měsíčků (menisků). Měsíček je útvar vytvořený dvěma kruhovými oblouky:
Měsíčků existuje nekonečně mnoho - v závislosti na velikostech poloměrů a vzdálenosti středů obou kružnic (a tedy na úhlech  a ). Avšak jejich KVADRATURU lze provést pouze pro 5 vhodných kombinací čísel . To, že těchto možností je pouze 5, bylo dokázáno až ve 20. století. Avšak všech 5 možností už bylo objeveno dříve. Sám Hippokrates objevil 3 měsíčky, jejichž kvadraturu lze provést a zbylé 2 měsíčky byly objeveny v až v 18. a 19. století.

5 vhodných kombinací:

Lze dokázat, že měsíček, jehož kvadratura je možná, musí splňovat 2 podmínky:
  1. Poměr úhlů  ku  (označme ho ) musí být roven opačnému poměru druhých mocnin příslušných poloměrů, tedy:  
  2. Poměr  může nabývat pouze jedné z pěti hodnot:  a  (První tři odpovídají měsíčkům Hippokratovým)
Z první podmínky vyplývá . To ale znamená, obsahy příslušných úsečí jsou shodné! (Obsah úseče je polovina středového úhlu v úhlové míře krát poloměr na druhou). Jaký to má důsledek:
  • Ve všech pěti případech je tedy možné převést měsíček na čtyřúhelník ABCD (ve tvaru šipky jako zde - pro  menší než úhel pravý) nebo ve tvaru rovnoramenného trojúhelníku (pro) či ve tvaru draka - pro  větší než je úhel pravý). Ale každý mnohoúhelník lze převést eukleidovsky na čtverec a tím dokončit kvadraturu.
  • V každém z pěti případů kvadratury měsíčku navíc existuje ještě další mnohoúhelník, jehož obsah je roven obsahu měsíčku - to uvidíme dále.

Základní Hippokratovo východisko - kruhové úseče:

Podobnost: Dvě kruhové úseče (resp. výseče nebo jen oblouky) jsou podobné, právě když mají stejný středový úhel.
Image
Tvrzení: Poměr obsahů dvou podobných kruhových úsečí je roven poměru obsahů čtverců sestrojených nad jejich tětivami. (Platí i pro výseče.)