Els sistemes 3x3 com combinació lin. de 3 vectors columna

Un sistema d'equacions lineals de 3 equacions i 3 incògnites com el següent Es pot interpretar com a una combinació lineal de 3 vectors escrits en forma de columna L'únic detall que cal tenir en compte en aquesta interpretació és que s'han utilitzat les lletres a, b i c com a incògnites en lloc de x,y, z per evitar confondre amb el nom dels eixos La construcció ens representa els 3 vectors en vermell, verd i lila i la seva combinació lineal en negre. El vector dels termes independents es representa en gris, quan l'equació estigui resolta i els valors d'a,b i c siguin solució llavors el vector negre coincidirà amb el gris
Aquesta representació proporciona una forma intuïtiva de visualitzar quan un sistema té solució (és compatible) o no (incompatible) i quan la solució és única (determinat) o n'hi ha més d'una (indeterminat) Modificant els valors dels vectors podem analitzar qualsevol sistema. Comencem però amb el que tenim ara entre mans. Fixa´t que els 3 vectors no estan sobre un mateix pla, això es pot veure numèricament calculant el determinant que en aquest cas val -47 El paral·lelepípede determinat pels 3 vectors té com a volum 47 (el valor absolut del determinant ). Si fossin coplanaris o colineals el volum fora 0. El fet que els 3 vectors columna no són coplanaris s'expresa dient que són linealment independents o que tenen rang 3. Es pot comprovar gràficament el fet que variant els coeficients a, b i c podem construir qualsevol vector de l'espai en particular el vector gris (10,7,10) Per trobar-los cal resoldre l'equació ;-) o bé, alternativament, tantejar la construcció de GeoGebra per si tenim sort de trobar-la. Comprova que amb a=2, b=2 i c=3 s'obté la solució.