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El número pi y la longitud de la circunferencia

Forfatterjaviermaimo
Imagine que se tiene una fuente en un parque y se desea instalar una valla alrededor. Suponiendo que la fuente tiene una forma aproximadamente circular, se pretende determinar cuál será la cantidad de valla necesaria para llevar a cabo la tarea.
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Parece claro que la longitud de valla que se deberá emplear se corresponde con la longitud de la circunferencia de la fuente.  ¿De qué depende la longitud de una circunferencia y cómo se calcula?
Las circunferencias son unas de las figuras geométricas que más han llamado la atención de los matemáticos y de las personas en general. Las parámetros que definen una circunferencia son su radio, su diámetro y su perímetro, o simplemente longitud. Estos parámetros no son independientes, el diámetro es simplemente el doble del radio, y se sabe que la longitud de la circunferencia depende de su radio (y por tanto de su diámetro)
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La relación entre la longitud y el diámetro, es decir l/d, no es un número entero ni racional, es de hecho un número irracional, al que se llamó pi, o , en honor al matemático griego Pitágoras. Su valor se puede calcular haciendo el cociente entre la longitud y el diámetro de un objeto circular.

Actividad 1

Utilizar hilo y una regla para medir la longitud de un objeto circular y posteriormente su diámetro. Calcular el cociente entre la longitud y el diámetro. Repetir el cálculo para diferentes objetos circulares.

Tjek dit svar

Se puede comprobar que, sin importar el diámetro de una circunferencia, la razón entre su longitud y su diametro siempre es igual a pi.

Como pi es un número irracional, no se puede expresar como un cociente de dos enteros, tiene por tanto una parte decimal infinita

Esto significa que en la práctica no podemos tomar todos dígitos de la parte decimal de pi, y debemos aproximar su valor como 3.14, como 3.1416, o tomando más cifras decimales, dependiendo de la precisión que se desee

Ejemplo 1:

Calcular la longitud de una circunferencia de radio 2 Como el radio es 2 el valor de la longitud es simplemente

donde se han tomado 6 dígitos decimales para expresar el número pi.

Actividad 2:

Calcular la longitud de una circunferencia cuyo radio es igual a 4 y tomando 6 dígitos para el valor de pi

Sæt kryds ved dit svar
  • A
  • B
  • C
  • D
Tjek mine svar (3)

Actividad 3:

Calcular la longitud de una circunferencia cuyo diámetro es igual a 4 tomando 6 dígitos para el valor de pi

Sæt kryds ved dit svar
  • A
  • B
  • C
  • D
Tjek mine svar (3)

Ejemplo 2:

Se mide de forma aproximada la longitud de una circunferencia y su radio, y se obtienen los valores 37.5 y 6 respectivamente. Utilizar los datos para estimar el valor aproximado de pi. Como el radio es 6, significa que el diámetro será 12, por tanto
Como se ha visto en la actividad 1, el valor de pi se puede calcular como la longitud de una circunferencia y su diámetro. La longitud de la circunferencia se puede aproxmar como el perímetro de un poligono inscrito, de manera que una aproximación de pi puede ser dividir el perímetro del polígono entre el diámetro de la circunferencia en la que está inscrito. Naturalmente, la aproximacón mejorará cuantos más lados tenga el polígono, ya que a mayor número de lados más se parece el perímetro del pollígono a la longitud de la circunferencia en la que está inscrito. En la siguiente hoja dinámica se puede comprobar como se puede aproximar la longitud de una circunferencia como el perímetro de un polígono inscrito, al que se le puede cambiar el número de lados usando el deslizador. Al aumentar el número de lados del polígono, el perímetro del polígono se va aproximando más a la longitud de la circunferencia.

Actividad 4

Si se toman 3 lados para el polígono y se supone que el radio de la circunferencia es 3. ¿Cual sería el valor aproximado de pi?

Sæt kryds ved dit svar
  • A
  • B
  • C
Tjek mine svar (3)

Actividad 5

¿Y si con la misma circunferencia de radio 3 se toma ahora un poligono de 6 lados?

Sæt kryds ved dit svar
  • A
  • B
  • C
Tjek mine svar (3)

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