Differentialrechnung - Wendepunkte (Sachsenring-S-Kurve)
Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du mittels Durchfahren der Sachsenring-S-Kurve erarbeiten, wie man Wendepunkte mit Hilfe der Differentialrechnung erklären kann. Eine Funktion f(x) beschreibt die S-Kurve. Die zu der Funktion f(x) zugehörigen Ableitungsfunktionen f'(x), f''(x) und f'''(x) werden als Graphen ebenfalls dargestellt. Die Zusammenhänge zwischen f(x), f'(x), f''(x) und f'''(x) werden dir sichtbar gemacht.
Aufgaben
1. Bewege den (aquarienblauen) Schieberegler und bewege somit das Autosymbol entlang der S-Kurve f(x).
2. Besser aber, du fährst mit einem richtigen Auto, dem Trabbi. Lasse Dir den Trabbi und das Lenkrad dazu anzeigen.
3. Blende Dir dann die Frage ein und versuche vor dem Experiment diese Frage zu beantworten.
4. Lasse Dir jetzt den Wendepunkt anzeigen. Hast Du die Frage richtig beantwortet? Durchfahre nochmals die S-Kurve und achte genau auf die Stellung des Lenkrads. Wann lenkt das Lenkrad nach rechts, wann nach links? Was passiert am Wendepunkt?
5. Schalte die 1. Ableitung hinzu. Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Extremum der 1. Ableitung f'(x) und dem Wendepunkt der Funktion f(x)?
6. Schalte das Extremum der 1. Ableitung ein.
7. Schalte jetzt die 2. Ableitung hinzu. Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Nullstelle der 2. Ableitung f''(x) und dem Wendepunkt der Funktion f(x)?
8. Blende jetzt die 3. Ableitung ein. Welches Vorzeichen hat diese? Welchen Schwenk macht das Lenkrad am Wendepunkt?
9. Links unten findest du ein Play-Symbol. Klicke darauf, dann startet die Animation. Mit dem Pause-Symbol kann die Animation angehalten werden. Mit dem Symbol rechts oben wird das Arbeitsblatt in den Ausgangszustand zurück gesetzt.
10. Fazit
a) An einem Wendepunkt ändert der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt.
b) Ein Wendepunkt der Funktion f(x) und das Extremum 1. Ableitung f'(x) dieser Funktion ist bzgl. seines Abszissenwertes (der Wendestelle xw) identisch. Da für ein Extremum gilt, dass die 1. Ableitung (Steigung) gleich Null sein muss, folgt, (f'(x))' = f''(x) = 0.
c) Ein Wendepunkt der Funktion f(x) und die Nullstelle der 2. Ableitung f''(x) dieser Funktion ist bzgl. seines Abszissenwertes (der Wendestelle xw) identisch.
d) Damit ließe sich die Wendestelle xw eines Wendepunktes bestimmen, indem die 2. Ableitung der Funktion gleich Null gesetzt wird und die Gleichung nach xw aufgelöst wird.
Also: f''(xw) = 0 setzen und nach xw auflösen.
e) Im vorliegenden Fall schwenkt das Lenkrad am Wendepunkt von links nach rechts, es liegt also eine Links-Rechts-Wendestelle vor.
f) An der Nullstelle der 2. Ableitung ändert sich das Vorzeichen, hier im Beispiel vom Positiven zum Negativen. Das lässt die Vermutung zu, dass beim VZW vom Positiven zum Negativen eine Links-Rechts-Wendestelle und beim VZW vom Negativen zum Postiven eine Rechts-Links-Wendestelle vorliegt.
g) Ein VZW vom Positiven zum Negativen bei der 2. Ableitung hat an der Stelle xw (Nullstelle der 2. Ableitung) zur Folge, dass die Steigung der 2. Ableitung negativ ist. Die Steigung der 2. Ableitung ist jedoch die 3. Ableitung. Das lässt den Schluss zu, dass es sich bei den Wendepunkten um einen Links-Rechts-Wendepunkt handelt, wenn die 3. Ableitung an der Wendestelle xw negativ ist und um einen Rechts-Links-Wendepunkt, wenn die 3. Ableitung an der Wendestelle xw positiv ist.