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外接三角形が一点で交わることの証明

ジェルゴンヌの定理の証明(円の外接三角形の接点と頂点を結んだ直線は一点で交わる)

射影する

射影とは空間でこの図形に光を当てて影をつけることで、 斜めに光を当てると、円は楕円になるが、その他の関係はすべて保たれる。 射影すると円は楕円に、直線は直線で変わらない。 長さは変わるけれど比の関係は保たれているので1となることは変わらない。

ジェルゴンヌの定理について

三角形の内心が作る内接円の接点と頂点を結ぶと一点で交わる。 この点をジェルゴンヌ点といい、1818年に発表された。 図のAが内心でIがジェルゴンヌ点。 これは二次曲線においても言える。 次の図のスライダーを動かすと、円の中心が二つに分かれて楕円になる。 楕円になると長さは変わるけれど、比は変わらない。 つまり楕円でも成り立つことがわかる。

ジェルゴンヌの定理 円から楕円へ

チェバの定理