Cálculo de áreas: integrales definidas

Sea una función , es decir, definida en un intervalo. Supongamos que es positiva, es decir, que (su gráfica está por encima del eje de abscisas). Entonces, la integral definida representa el área encerrada entre la gráfica de y el eje de abscisas entre las rectas y . Por ejemplo, si la función es y y , tenemos que el área coloreada de amarillo   es

Supongamos ahora que la función es negativa en el intervalo, es decir, que . En este caso, la integral definida nos proporciona el área pero, al estar la región por debajo del eje de las abscisas, la integral proporciona un valor negativo. Lo único que tenemos que hacer es cambiar el signo del resultado, es decir, calcular el valor absoluto. Por ejemplo, si cambiamos la función por , el área será Obviamente obtenemos el mismo valor ya que se trata de la misma región tras aplicar una simetría respecto del eje OX.

Ahora consideramos la posibilidad de que la función no sea siempre positiva ni negativa, esto es, existen algunos intervalos en los que la función es positiva y otros en los que es negativo (si la función es 0, no importa si la consideramos positiva o negativa). Lo que hacemos en estos casos es calcular el área de las regiones asociadas a cada intervalo: en los intervalos en los que la función es positiva, calculamos la integral definida de la función; en los que es negativa, calculamos la integral definida de la función y cambiamos el signo. Finalmente, sumamos las áreas para obtener el área total. Por ejemplo, vamos a calcular el área de la función en el intervalo . Es fácil ver que la función es positiva en el intervalo y negativa en el intervalo . Luego tendremos dos integrales.  El área donde la función es positiva es El área donde la función es negativa es: Por tanto, el área total es

• Cálculo de áreas (integrales definidas)
• Cálculo de integrales inmeditas
• Integración por partes
• Integración por sustitución o cambio de variable
• Integración de funciones racionales (fracciones con polinomios)