Iperbole riferita agli asintoti e funzione omografica
L'IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASINTOTI
In questo paragrafo vediamo un caso particolare di iperbole, molto importante perché rappresenta un caso molto speciale legato alla rappresentazione di grandezze inversamente proporzionali. Introduciamo l'argomento nella seguente animazione.
Vediamo ora i calcoli che ci permettono di passare da un'iperbole equilatera riferita agli assi alla stessa iperbole riferita agli asintoti. Osserviamo l'iperbole equilatera in figura.
Essendo equilatera la sua equazione può essere ridotta nella forma vista nell'animazione precedente, cioè
(nell'esempio in figura si vede bene che ; nei passaggi successivi tuttavia lasceremo il parametro generico in modo da ottenere la formula generale).
Abbiamo visto che gli asintoti hanno equazione . Verifichiamo brevemente l'inclinazione dell'asintoto : se consideriamo il suo coefficiente angolare, abbiamo che:
Dato che nello stesso modo si verifica che l'altro asintoto è inclinato verso il basso di un angolo identico, possiamo concludere che il sistema rosso è ruotato di , o meglio di rispetto a quello nero.
Le trasformazioni per una rotazione di un angolo sono:
(puoi ripassare queste formule nella pagina dedicata alla rotazione del sistema di riferimento). Nel caso di un angolo di -45° diventano:
Sostituendo le coordinate nere nell'equazione dell'iperbole equilatera otteniamo:
Svolgendo i calcoli otteniamo:
La legge che descrive l'iperbole afferma che il prodotto tra e è un valore costante, pari a e che possiamo rinominare per dare una forma più sintetica all'equazione (adottiamo anche le coordinate non primate, per semplicità di scrittura - resta inteso, come ribadiremo sotto, che stiamo lavorando in un sistema di assi particolare):
Come sappiamo, questa legge descrive la relazione di proporzionalità inversa, cioè quella che vige tra due quantità tali per cui al raddoppiare dell'una l'altra dimezza e viceversa. Questo comportamento è particolarmente visibile nella forma dell'equazione , dato che se il prodotto deve sempre fare , al raddoppiare di una delle quantità l'altra deve dimezzare e viceversa. Il grafico di questa relazione è proprio un'iperbole di questo tipo, che viene detta iperbole riferita agli asintoti in quanto la si ottiene considerando un sistema di riferimento in cui i suoi asintoti coincidono con gli assi cartesiani.
Da notare che in questo caso particolare l'iperbole è rappresentata da una funzione, dato che ad ogni in input corrisponde un solo di output; questo può essere reso esplicito riscrivendo l'equazione nella forma:
Osserviamo infine che può essere positivo o negativo. Nel primo caso la funzione occuperà il primo e terzo quadrante ( è positivo e quindi è il prodotto di numeri concordi) , altrimenti occuperà il secondo ed il quarto (dove ed sono numeri discordi ed il loro prodotto è negativo).
![Questo tipo di rappresentazione, in cui per chiarezza ci siamo concentrati sul solo primo quadrante, visualizza geometricamente il fatto che l'iperbole riferita agli asintoti rappresenta la relazione di proporzionalità inversa: per ogni punto l'area del rettangolo formato dal punto stesso e dalle sue proiezioni sugli assi ha area 12, dato che la coordinata [math]x[/math] rappresenta la misura della base del rettangolo e la [math]y[/math] l'altezza. A parità di area, la base e l'altezza di un rettangolo sono grandezze inversamente proporzionali: se una viene moltiplicata per un numero (2, 3...) l'altra deve essere divisa per lo stesso numero.](https://stage.geogebra.org/resource/wbqjmyme/zuqza6kfbEoXmHUW/material-wbqjmyme.png)
Da notare che in questo caso particolare l'iperbole è rappresentata da una funzione, dato che ad ogni in input corrisponde un solo di output; questo può essere reso esplicito riscrivendo l'equazione nella forma:
Osserviamo infine che può essere positivo o negativo. Nel primo caso la funzione occuperà il primo e terzo quadrante ( è positivo e quindi è il prodotto di numeri concordi) , altrimenti occuperà il secondo ed il quarto (dove ed sono numeri discordi ed il loro prodotto è negativo).
LA FUNZIONE OMOGRAFICA
Un'iperbole riferita agli asintoti traslata in un nuovo centro qualsiasi viene detta funzione omografica. Ricaviamone l'equazione nell'animazione qui sotto.
Abbiamo visto che la forma generale della funzione omografica è del tipo
dove sono quattro numeri qualsiasi. Vediamo ora come riuscire a dedurre le caratteristiche del grafico di una funzione omografica partendo dai suoi quattro parametri. Osserviamo ad esempio il grafico della funzione , riportata qui sotto.
LE CONDIZIONI DI ESISTENZA DEFINISCONO L'ASINTOTO VERTICALE
Notiamo innanzitutto che il dominio di questa funzione è definito dalle condizioni di esistenza .
La retta è esattamente l'asintoto verticale rosso mostrato in figura: infatti l'iperbole non la tocca mai (il valore è vietato e non può mai essere assunto), inoltre notiamo che quando consideriamo valori di vicini al (ad esempio prima , poi , accadono le seguenti cose:
Il valore del NUMERATORE si avvicina sempre più ad un numero finito, nel nostro caso . Lo puoi verificare ad esempio tramite una semplice tabella in un foglio di calcolo come quello riportato sotto.
STUDIO DEL COMPORTAMENTO DEL NUMERATORE
Vediamo che più assume valori prossimi a , più il risultato dell'espressione al NUMERATORE, , assume valori prossimi a 31. In questo caso dato che appartiene al dominio del numeratore, possiamo sostituirlo direttamente ed ottenere il valore a cui tende l'espressione (riga 11).
I simboli matematici per esprimere questo andamento sono dati dalla seguente scrittura
Questa scrittura si legge: "il limite per che tende a di è ", e significa appunto che più consideriamo valori di vicini a , più il risultato dell'espressione si avvicina a .
(Le parentesi che racchiudono l'espressione possono essere omesse, se è chiaro quale è l'espressione di cui stiamo stimando il risultato).
Allo stesso modo possiamo verificare che il DENOMINATORE tende a 0, e quindi che
Vediamolo con una tabella del foglio di calcolo
Vediamo che più assume valori prossimi a , più il risultato dell'espressione al DENOMINATORE, , assume valori prossimi a . Anche in questo caso possiamo sostituire direttamente ed ottenere il valore a cui tende l'espressione (riga 11), ma c'è un'importante differenza: se ci "avviciniamo" a considerando valori più piccoli di (righe 2-10), cioè alla sinistra di sull'asse cartesiano, otteniamo risultati piccoli negativi, mentre se consideriamo valori più grandi (righe 12-18), cioè alla destra del sull'asse, abbiamo risultati sempre più piccoli ma positivi.
Lo studio dei valori della tabella ci ha permesso di notare una differenza molto importante, che non si aveva nel numeratore: il segno del risultato cambia a seconda che mi avvicini al considerando valori maggiori o minori di esso. In questo caso è importante trattare i due casi separatamente.
Nel primo caso si scrive : il indica appunto che prendiamo valori simili a 5, ma più grandi. Si parla di limite destro, perchè sull'asse mi avvicino al da destra, cioè passando per valori che sono alla destra del . La scrittura completa è
Cioè quando tende a da destra, il risultato dell'espressione tende a assumendo valori un po' più grandi di 0 (e quindi positivi).
Allo stesso modo abbiamo ottenuto che
Consideriamo ora il risultato dell'espressione completa: stiamo dividendo qualcosa che è simile a a qualcosa di sempre più piccolo. Dividendo , o qualcosa di molto simile, per un numero sempre più piccolo otteniamo un risultato sempre più grande: considerando valori vicini a , quindi, otteniamo risultati illimitatamente grandi. Sarà però importante distinguere il segno dei risultati nei due casi. Il limite destro è
Poiché entrambi i numeri sono positivi, il risultato è un numero sempre più grande e POSITIVO, cioè ; ciò è confermato dall'andamento dell'iperbole in figura: più consideriamo punti con vicina a avvicinandoci da destra, più la curva sale a valori sempre più grandi.
Il limite sinistro invece è
In questo caso numeratore e denominatore tendono a due valori discordi, quindi il risultato è un numero sempre più grande ma NEGATIVO, che corrisponde con l'andamento dell'iperbole in figura: più consideriamo punti con vicina a avvicinandoci da sinistra, più la curva scende a valori sempre più negativi.
NOTA: Lo studio di questi limiti può essere fatto sostituendo simbolicamente il valore assunto dalle . Ad esempio il limite destro si calcola
cioè, ad esempio al denominatore si avvicina sempre più a numeri un po' più alti di , cioè , e dato che poi togliamo 10, il risultato del denominatore si avvicina a numeri un po' più alti di , cioè . Da notare che il segno di è dato proprio da quel piccolo "ad esponente" (zero non ha segno, quindi dobbiamo capire se siamo un po' più o un po' meno di zero), mentre il segno di non dipende dal "piccolo" , che quindi può essere ignorato: sia che sono numeri chiaramente positivi.
IN BREVE: considerando l'equazione generale della funzione omografica, , le condizioni di esistenza diventano , e quindi l'asintoto verticale ha equazione
L'ASINTOTO ORIZZONTALE: COME SI COMPORTA IL RISULTATO... "ALLA FINE" DELL'ASSE ?
Per trovare l'equazione dell'asintoto orizzontale, facciamo un ragionamento simile. Ci chiediamo: che risultato ci dà la funzione se consideriamo valori di sempre più grandi?
Tradotto in espressione matematica equivale a chiedersi a cosa tende il risultato finale quando tende a cioè:
Potremmo utilizzare anche in questo caso un foglio di calcolo per stimare il risultato, come mostrato sotto.
![Più considero valori grandi di [math]\large{x}[/math], più il risultato della funzione diventa simile a [math]\large{3}[/math].](https://stage.geogebra.org/resource/wbrrthyq/gx42LsLiEOmKY8zi/material-wbrrthyq.png)
![Più consideriamo [math]\large{x}[/math] maggiori, più le corrispondenti [math]\large{y}[/math] si avvicinano al valore [math]\large{3}[/math]. Disegnando i corrispondenti punti sul piano, diventa lecito supporre che la funzione abbia un andamento asintotico come quello tratteggiato in figura.](https://stage.geogebra.org/resource/cryemtk7/YbgcK7l0fAKvcHez/material-cryemtk7.png)
Come ottenere lo stesso risultato SENZA fare uso di un foglio di calcolo?
Più la cresce, più sia il numeratore che il denominatore diventano quantità molto grandi. Vedremo nel corso di analisi che questo tipo di situazione è ambiguo, ed il risultato dipende da quale delle due quantità cresce più rapidamente. Per il momento ci limitiamo a mostrare che questa situazione si risolve con questo metodo: raccogliamo sia a numeratore che a denominatore una ed otteniamo:
Le due rosse possono essere semplificate, mentre le due frazioni blu assumeranno valori sempre più piccoli (sono entrambe il rapporto tra un numero finito e la che diventa sempre più grande, quindi il risultato della frazione è un numero sempre più piccolo e tende a zero) e quindi possono essere trascurate. Di conseguenza il risultato finale tenderà al risultato calcolato come segue:
Abbiamo cioè che più consideriamo grandi, più il risultato si avvicina a 3. Questo riproduce l'andamento dell'iperbole calcolato con il figlio di calcolo e visibile nella parte destra del piano. Un ragionamento analogo darebbe lo stesso risultato per , cioè quando assume valori grandi negativi, cioè nella parte sinistra del piano. La retta è quindi proprio l'asintoto in figura. Con semplici osservazioni possiamo dedurre che forma generale dell'asintoto è
UN'ULTIMA AMBIGUITÀ DA RISOLVERE
Osserva la figura qua sotto
L'iperbole arancione in figura ha gli stessi identici asintoti calcolati precedentemente: come possiamo capire quale delle due curve è il grafico della nostra funzione omografica?
Evidentemente basta calcolare il risultato in un punto qualsiasi, e è sempre un ottimo valore da sostituire dato che è particolarmente semplice. Nel nostro caso otteniamo
; l'iperbole incontra quindi l'asse delle in un punto sotto all'asintoto orizzontale, cioè in questo caso inferiore a , quindi si tratta della curva verde. Se al contrario avessimo ottenuto un'intersezione sopra all'asintoto, il grafico sarebbe dovuto essere per forza del tipo arancione.
RIASSUMENDO: COME STUDIARE LA FUNZIONE OMOGRAFICA
Una volta riconosciuto che una funzione ha la forma della omografica è sufficiente definire i suoi asintoti ed in quali quadranti passa. Mostriamo la procedura con una funzione di esempio
1) Le condizioni di esistenza definiscono il valore che NON viene assunto (e quindi "toccato") dalla funzione, e quindi ci permettono di disegnare l'asintoto verticale. Nel nostro caso abbiamo che il dominio è definito dalle C.E., quindi l'asintoto verticale è definito dal valore vietato ed ha equazione
2) Il limite per ci fa capire a cosa si avvicina il risultato della funzione quando assume valori molto grandi, positivi o negativi, e quindi definisce l'asintoto orizzontale. Esso si risolve raccogliendo la in un modo un po' particolare (anche dai termini in cui essa non compare), semplificandola ed eliminando i termini trascurabili. Mostriamo la procedura con la funzione di esempio:
Le frazioni in blu diventano trascurabili perché sono il rapporto tra un numero ed una quantità sempre più grande. L'asintoto orizzontale è definito dal valore a cui tende la , e quindi in questo caso ha equazione .
3) Valutando la funzione in un punto qualsiasi, ad esempio calcolando la sua intersezione con l'asse delle , capiamo quali quadranti occupa nel sistema degli asintoti, e quindi come deve essere tracciato il suo grafico. Nel nostro caso abbiamo
Il valore è superiore a , associato all'asintoto orizzontale, e quindi la funzione occupa il secondo e quarto quadrante del sistema che ha gli asintoti come assi, come mostrato in figura.