Metriken in R² und R³

Definition Sei X eine nichtleere Menge. Eine Funktion d: heißt Metrik oder Abstand auf X, wenn gilt: (1) Positive Definitheit: für alle und (2) Symmetrie: (3) Dreiecksungleichung: für alle Man nennt (X,d) einen metrischen Raum.
Auf einer Menge X gibt es verschiedene Metriken. Einige der wichtigsten sind:
  • Betragsmetrik:
  • Euklidische Metrik:
  • Maximumsmetrik:
Hinweis: x und y sind in dieser Notation Elemente der Menge X und nicht Koordinaten enes Punktes. Die Koordinaten werden mit x1, x2 usw. bezeichnet. Aufgabe Bewege den Punkt P und beobachte den Abstand des Punktes P von O(0,0). Die dargestellten Figuren bzw. Körper sind die Einheitskreise bzw. Einheitskugeln im bzw. bezüglich der verwendeten Metrik.