Il significato del coefficiente angolare
- Autore:
- Ilic Ferretti
Il coefficiente angolare e la velocità con cui "sale" la retta
Fin dalle prime considerazioni sulla retta abbiamo visto che "più il coefficiente angolare è grande, più rapidamente sale la retta". In altre parole maggiore è il coefficiente angolare, maggiore è la velocità con cui aumentano le y (la retta sale) all'aumentare delle x (ci spostiamo verso destra).
In questo capitolo vedremo che il coefficiente angolare coincide numericamente con la velocità relativa delle y rispetto alle x. Per capire questo concetto, otteniamo innanzitutto la formula che ci permette di calcolare attraverso le coordinate di due punti qualsiasi della retta:
Se una retta passa per il punto e allora il suo coefficiente angolare può essere calcolato come
Dimostrazione della formula
La dimostrazione consiste nel seguire il solito procedimento per trovare una retta che passa per due punti, ma invece di farlo con due punti determinati (che hanno numeri ben precisi come coordinate) lo facciamo con due punti generici (cioè qualsiasi) e per le coordinate usiamo delle lettere.
Se la retta passa per il punto significa le sue coordinate soddisfano l'equazione della retta, quindi possiamo sostituirle nell'equazione generica della retta ed otteniamo un'uguaglianza vera:
La stessa cosa si può fare per il punto . Mettendo a sistema le due equazioni ottenute (la retta passa per entrambi i punti) abbiamo:
Le nostre incognite sono e , le caratteristiche della retta che passa per i due punti dati. Moltiplichiamo la prima equazione per ...
...e poi sommiamole (applichiamo cioè il metodo di riduzione): otteniamo questa nuova equazione
...raccogliamo la
dividendo per la parentesi otteniamo la formula cercata:
Il simbolo che abbiamo introdotto nell'ultima parte, (la lettera greca delta, in questo caso maiuscola), indica una variazione, infatti il coefficiente angolare risulta uguale al rapporto tra quanto cambiano le e quanto cambiano le passando dal punto al punto .
Vediamo questo concetto nell'animazione qui sotto.
La "velocità" con cui la y aumenta rispetto alla x
Un esempio concreto
Prendiamo l'esempio di velocità che conoscono tutti, quella che misura quanto velocemente mi muovo, ovvero la variazione della mia posizione rispetto al tempo: se vado ai 50km/h vuol dire che mentre trascorre un'ora (differenza tra tempo finale segnato dall'orologio e tempo finale) io mi sono spostato di 50km (differenza tra la mia posizione finale e quella iniziale).
Come si vede la formula è identica a quella vista prima, e nell'esempio qui sotto si vedrà che può essere utilizzata in qualsiasi contesto.
Un esempio concreto visto sul grafico
Nel grafico sotto abbiamo rappresentati sulle x i mesi che passano, e sulle y il numero di abitanti di un paese. Vogliamo misurare la velocità con cui aumenta la popolazione nei vari periodi, cioè quanto rapidamente cambia il numero di abitanti rispetto al tempo...
Andamento della popolazione nel paese di Nowhere i primi sei mesi dell'anno 2076
Velocità puntuale e velocità media
Ribadiamo la differenza tra velocità puntuale (o effettiva) e velocità media.
Nel tratto AB abbiamo calcolato la velocità effettiva di crescita della popolazione, perché per quanto ci dicono i dati in nostro possesso la popolazione ha seguito proprio l'andamento dato dal segmento AB.
Nell'intervallo tra il punto A ed il punto D vediamo che la velocità di crescita non è costante: ad un certo punto la popolazione cala addirittura. Può comunque essere interessante calcolare una velocità media che riproduce un andamento indicativo dell'intero periodo dei primi sei mesi: la popolazione è cambiata in modo non uniforme, ma se fosse cresciuta sempre in modo costante avrebbe avuto questa velocità:la retta blu unisce correttamente la situazione iniziale (punto A) e quella finale (punto D), e quindi di fatto porta allo stesso risultato.
La velocità media non ci dice nulla sulla velocità effettiva nei vari momenti, ma è molto più importante ed utile di quello che sembra apparentemente.
Tanto per iniziare anche nel tratto AB di fatto abbiamo calcolato una velocità media, dato che è molto poco probabile che gli abitanti siano nati esattamente 50 ogni mese: più facilmente vi saranno stati mesi con più nascite e altri con meno, e quindi 50 abitanti al mese non è altro che la media.
La velocità media, inoltre, ci è utilissima per arrivare a calcolare la velocità effettiva di ogni punto: quando lo faremo tramite le derivate (in quinta...) partiremo proprio dal coefficiente angolare di queste rette...