Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

E091 A forgatva nyújtás és alkalmazásai

 Feladat:
  • Legyen a sík négy adott pontja:A1, A2, B1 és B2  Adjuk meg annak a forgatva nyújtásnak a K centrumát, amely az A1B1 szakaszt az A2B2  szakaszba viszi át, valamint azt, amely az A1A2  szakaszt viszi át   B1B2–be.
  A középiskolából ismert síkgeometriai transzformációk között két olyan van, amelynek a megadásához  egyéb adatok mellett szükség van egy centrum megadására is: ez a centrális nyújtás és a forgatás. (A centrális tükrözés mindkettőnek a speciális esete.) A forgatva nyújtás e két transzformáció szorzata, azaz egymás utáni végrehajtása, ahol a két művelet centruma ugyanaz a pont. Emiatt e két művelet sorrendje felcserélhető. A forgatva nyújtás aránya nyilvánvalón a két adott szakasz aránya, szöge e szakaszok (vektorok) szöge. Egyetlen kérdés, hogy hol van a forgatás és nyújtás – közös – centruma? A1B1 → A2B2 Szerkesztés, elemezés Legyen P az A1B1 és az A2B2 egyenesek metszéspontja. Mivel  az A1B1 → A2B forgatva nyújtás az Apontot A2-be, B1 -et B2-be viszi, azt a K pontot kell megkeresnünk, amelyre az A1KAés a B1KB2 szögek egyenlők, ez pedig az A1PAΔés a B1PB2Δ köré írt köröknek a P-től különböző K metszéspontja. Előfordulhat, hogy ez a két kör éppen érinti egymást, ekkor K=P. Ez akkor következik be, ha a négyszög trapéz. Ha a négyszög paralelogramma, akkor nem jön létre a keresett K pont. Ebben az esetben mindkét forgatva nyújtás eltolássá fajul. Ez a forgatva nyújtás nem csak az A1B1 szakaszt viszi át A2B2–be, hanem az  A1B1háromszöget is az az  A2B2háromszögbe, a köréjük írt köreikkel együtt. Ezért az A1Aés B1B2 szakaszokat egymásba vivő forgatva nyújtásnak is K lesz a centruma. Ez a kerületi szögek tételére hivatkozva igazolható. Javasoljuk olvasóinknak az alábbi applet forrásfájljának a letöltését és tanulmányozását.
A kapott összefüggés alkalmazási lehetőségeit keresve két irányba haladhatunk tovább.   1. Tisztítsuk meg az előző rajzunkat: csak a négy adott pontra illeszkedő egyeneseket, a kapott köröket és ezek metszéspontjait tartsuk meg. Azt látjuk, hogy van az ábrán négy kör, négy egyenes és 7 pont.  Ezzel „melléktermékként” azt kaptuk, hogy: Ha adott a síkon négy általános helyzetű (egymást különböző pontokban metsző) egyenes, akkor az általuk meghatározott négy háromszög köréírt körei egy pontra illeszkednek. 
Vessük alá ezt a körökből, egyenesekből és pontokból álló alakzatot egy olyan inverziónak, amelynek a középpontja ezeknek az alakzatoknak egyikére sem illeszkedik. Ekkor a körökből ugyancsak köröket, az egyenesekből pedig olyan köröket kapunk, amelyek illeszkednek az inverzió centrumára. Eredményünk egy nagyon szép illeszkedési reláció, amely sok szép összefüggés feltárásának lehet a kezdő mozzanata. Ez az öt szabad  bázisponttal megadott dinamikus ábra olyan nyolc körből és nyolc pontból álló konstrukció, amelyben minden körre pontosan négy pont, és minden pontra pontosan négy kör illeszkedik. Ez az un. Clifford alakzat.   
Bár a Clifford alakzat bármely pontja  ill. bármely köre a többivel egyenértékű, most mégis különböztessük meg a pontokat ‑ színük megválasztásával ‑ aszerint, hogy szabadok (mozgathatók), vagy kötöttek (egyértelműen szerkesztettek). Ugyanígy megkülönböztethetők a körök is aszerint, hogy három szabad, vagy két szabad és egy kötött pont határozza-e meg őket. Ez megkönnyíti magának a Clifford tételnek a  megfogalmazását. 
  • Legyen a sík öt általános helyzetű pontja  A1, A2, B1,B2 és C ! Legyen P az  (A1,B1,C) és az (A2, B2,C) ponthármasok köré írt köreinek a C-től különböző metszéspontja. Ugyanígy legyen Q az (A1,A2,C) és a (B1,B2,C) ponthármasok köré írt köreinek a C-től különböző metszéspontja. Végül legyen K az  (A1,A2,P) és az az (A1, B1,Q) ponthármasok köré írt köreinek az A1-től különböző metszéspontja. A Clifford tétel állítása szerint a K pont illeszkedik az (A1,A2,P) és a (B1, B2,Q) ponthármasok köré írt köreire is.
Ígéretet tettünk arra, hogy rávilágítunk  a forgatva nyújtás egy másik alkalmazási lehetőségére.    2.  Induljunk ki az alábbi feladatból:
  • Legyen adott a síkban az N=ABCD négyszög. Forgatva nyújtással állítsuk elő azt  az  N -hez hasonló négyszöget, amelyben az AB oldalnak a DC oldal felel meg, majd azt, amelyet úgy kapunk, hogy a BC oldalt AD-be visszük át.
     Alkalmazzuk e két műveletet az így kapott négyszögekre, majd rendre ezek képeire is. Vizsgáljuk meg az így kapott  - H-hoz, így egymáshoz is hasonló - négyszögek kapcsolatát.   Láttuk, hogy mindkét forgatva nyújtásnak ugyanaz a K pont a centruma. Jelölje Tés TQ ezt a két forgatva nyújtást, amelyek szögeit és arányait az A, B, C, D  pontok egyértelműen meghatározzák. Legyen     TP(N) =NP ,   TQ(NP) = NPQ                  TQ(N) =NQ ,  TP (NQ) = NQP      Könnyen belátható, hogy e két transzformáció szorzata ugyanazt a négyszöget állítja elő, függetlenül attól, hogy e műveleteket milyen sorrendben alkalmaztunk. Azaz  NPQ  ≡ NQP  A bizonyítás részleteit olvasóinkra bízzuk.
Eredményünk azt jelenti, hogy e két forgatva nyújtás felhasználásával  a sík „elég nagy” részét ki tudjuk parkettázni egy tetszőlegesen adott négyszög azonos körüljárású hasonló példányaival.

A sík egy részének a lefedése egy adott négyszög hasonló példányaival

Miért kellett hozzátennünk, hogy „elég nagy”?  Ha "túl sok" négyszöget veszünk fel,  esetleg lesznek közöttük olyanok,melyek (részben) fedik egymást. Milyennek kell lennie a kiindulásul vett négyszögnek, ha azt szeretnénk, hogy „szinte az egész” sík lefedhető legyen hézagmentesen, egymást nem fedő, hasonló négyszögekkel? Ehhez tudnunk kell, hogy mi a feltétele annak, hogy két, "különböző irányból felépített" négyszög  pontosan illeszkedjen egymásra. (Ezek közül csak az egyiket tartjuk meg.) Ez messzire vezető kérdés, elemzését érdeklődő olvasóinkra bízzuk. Itt csak egy speciális esetre mutatunk példát. Példánkban olyan deltoid hasonló példányaival fedtük be a sík egy részét, amelynek egy szöge  bizonyos határok között  tetszőlegesen változtatható. 

A sík lefedése hasonló deltoidokkal

A fenti lefedések megszerkesztéséhez elég sokszor kellett ugyanazt a műveletet alkalmazni ahhoz, hogy érdemes legyen a "rács" kialakításához egy saját eljárást készíteni. Javasoljuk olvasóinknak e saját eljárás letöltését,  elemzését és kipróbálását.