E091 A forgatva nyújtás és alkalmazásai

Feladat:

Legyen a sík négy adott pontja:A₁, A₂, B₁ és B₂ Adjuk meg annak a forgatva nyújtásnak a K centrumát, amely az A₁B₁ szakaszt az A₂B₂ szakaszba viszi át, valamint azt, amely az A₁A₂ szakaszt viszi át B₁B₂–be.

A középiskolából ismert síkgeometriai transzformációk között két olyan van, amelynek a megadásához egyéb adatok mellett szükség van egy centrum megadására is: ez a centrális nyújtás és a forgatás. (A centrális tükrözés mindkettőnek a speciális esete.) A forgatva nyújtás e két transzformáció szorzata, azaz egymás utáni végrehajtása, ahol a két művelet centruma ugyanaz a pont. Emiatt e két művelet sorrendje felcserélhető. A forgatva nyújtás aránya nyilvánvalón a két adott szakasz aránya, szöge e szakaszok (vektorok) szöge. Egyetlen kérdés, hogy hol van a forgatás és nyújtás – közös – centruma? A₁B₁ → A₂B₂ Szerkesztés, elemezés Legyen P az A₁B₁ és az A₂B₂ egyenesek metszéspontja. Mivel az A₁B₁ → A₂B₂ forgatva nyújtás az A₁pontot A2-be, B₁ -et B₂-be viszi, azt a K pontot kell megkeresnünk, amelyre az A₁KA₂és a B₁KB₂ szögek egyenlők, ez pedig az A₁PA₂Δés a B₁PB₂Δ köré írt köröknek a P-től különböző K metszéspontja. Előfordulhat, hogy ez a két kör éppen érinti egymást, ekkor K=P. Ez akkor következik be, ha a négyszög trapéz. Ha a négyszög paralelogramma, akkor nem jön létre a keresett K pont. Ebben az esetben mindkét forgatva nyújtás eltolássá fajul. Ez a forgatva nyújtás nem csak az A₁B₁ szakaszt viszi át A₂B₂–be, hanem az A₁B₁K háromszöget is az az A₂B₂K háromszögbe, a köréjük írt köreikkel együtt. Ezért az A₁A₂és B₁B₂ szakaszokat egymásba vivő forgatva nyújtásnak is K lesz a centruma. Ez a kerületi szögek tételére hivatkozva igazolható. Javasoljuk olvasóinknak az alábbi applet forrásfájljának a letöltését és tanulmányozását.

A kapott összefüggés alkalmazási lehetőségeit keresve két irányba haladhatunk tovább. 1. Tisztítsuk meg az előző rajzunkat: csak a négy adott pontra illeszkedő egyeneseket, a kapott köröket és ezek metszéspontjait tartsuk meg. Azt látjuk, hogy van az ábrán négy kör, négy egyenes és 7 pont. Ezzel „melléktermékként” azt kaptuk, hogy: Ha adott a síkon négy általános helyzetű (egymást különböző pontokban metsző) egyenes, akkor az általuk meghatározott négy háromszög köréírt körei egy pontra illeszkednek.

Vessük alá ezt a körökből, egyenesekből és pontokból álló alakzatot egy olyan inverziónak, amelynek a középpontja ezeknek az alakzatoknak egyikére sem illeszkedik. Ekkor a körökből ugyancsak köröket, az egyenesekből pedig olyan köröket kapunk, amelyek illeszkednek az inverzió centrumára. Eredményünk egy nagyon szép illeszkedési reláció, amely sok szép összefüggés feltárásának lehet a kezdő mozzanata. Ez az öt szabad bázisponttal megadott dinamikus ábra olyan nyolc körből és nyolc pontból álló konstrukció, amelyben minden körre pontosan négy pont, és minden pontra pontosan négy kör illeszkedik. Ez az un. Clifford alakzat.

Bár a Clifford alakzat bármely pontja ill. bármely köre a többivel egyenértékű, most mégis különböztessük meg a pontokat ‑ színük megválasztásával ‑ aszerint, hogy szabadok (mozgathatók), vagy kötöttek (egyértelműen szerkesztettek). Ugyanígy megkülönböztethetők a körök is aszerint, hogy három szabad, vagy két szabad és egy kötött pont határozza-e meg őket. Ez megkönnyíti magának a Clifford tételnek a megfogalmazását.

Legyen a sík öt általános helyzetű pontja A₁, A₂, B₁,B₂ és C ! Legyen P az (A₁,B₁,C) és az (A₂, B₂,C) ponthármasok köré írt köreinek a C-től különböző metszéspontja. Ugyanígy legyen Q az (A₁,A₂,C) és a (B₁,B₂,C) ponthármasok köré írt köreinek a C-től különböző metszéspontja. Végül legyen K az (A₁,A₂,P) és az az (A₁, B₁,Q) ponthármasok köré írt köreinek az A₁-től különböző metszéspontja. A Clifford tétel állítása szerint a K pont illeszkedik az (A₁,A₂,P) és a (B₁, B₂,Q) ponthármasok köré írt köreire is.

Ígéretet tettünk arra, hogy rávilágítunk a forgatva nyújtás egy másik alkalmazási lehetőségére. 2. Induljunk ki az alábbi feladatból:

Legyen adott a síkban az N=ABCD négyszög. Forgatva nyújtással állítsuk elő azt az N -hez hasonló négyszöget, amelyben az AB oldalnak a DC oldal felel meg, majd azt, amelyet úgy kapunk, hogy a BC oldalt AD-be visszük át.

Alkalmazzuk e két műveletet az így kapott négyszögekre, majd rendre ezek képeire is. Vizsgáljuk meg az így kapott - H-hoz, így egymáshoz is hasonló - négyszögek kapcsolatát. Láttuk, hogy mindkét forgatva nyújtásnak ugyanaz a K pont a centruma. Jelölje T_Pés T_Q ezt a két forgatva nyújtást, amelyek szögeit és arányait az A, B, C, D pontok egyértelműen meghatározzák. Legyen T_P(N) =N_P , T_Q(N_P) = N_PQ T_Q(N) =N_Q , T_P (N_Q) = N_QP Könnyen belátható, hogy e két transzformáció szorzata ugyanazt a négyszöget állítja elő, függetlenül attól, hogy e műveleteket milyen sorrendben alkalmaztunk. Azaz N_PQ ≡ N_{QP
A bizonyítás részleteit olvasóinkra bízzuk.}

Eredményünk azt jelenti, hogy e két forgatva nyújtás felhasználásával a sík „elég nagy” részét ki tudjuk parkettázni egy tetszőlegesen adott négyszög azonos körüljárású hasonló példányaival.

A sík egy részének a lefedése egy adott négyszög hasonló példányaival

Miért kellett hozzátennünk, hogy „elég nagy”? Ha "túl sok" négyszöget veszünk fel, esetleg lesznek közöttük olyanok,melyek (részben) fedik egymást. Milyennek kell lennie a kiindulásul vett négyszögnek, ha azt szeretnénk, hogy „szinte az egész” sík lefedhető legyen hézagmentesen, egymást nem fedő, hasonló négyszögekkel? Ehhez tudnunk kell, hogy mi a feltétele annak, hogy két, "különböző irányból felépített" négyszög pontosan illeszkedjen egymásra. (Ezek közül csak az egyiket tartjuk meg.) Ez messzire vezető kérdés, elemzését érdeklődő olvasóinkra bízzuk. Itt csak egy speciális esetre mutatunk példát. Példánkban olyan deltoid hasonló példányaival fedtük be a sík egy részét, amelynek egy szöge bizonyos határok között tetszőlegesen változtatható.

A sík lefedése hasonló deltoidokkal

A fenti lefedések megszerkesztéséhez elég sokszor kellett ugyanazt a műveletet alkalmazni ahhoz, hogy érdemes legyen a "rács" kialakításához egy saját eljárást készíteni. Javasoljuk olvasóinknak e saját eljárás letöltését, elemzését és kipróbálását.

E091 A forgatva nyújtás és alkalmazásai

A sík egy részének a lefedése egy adott négyszög hasonló példányaival

A sík lefedése hasonló deltoidokkal

Nouvelles ressources

Découvrir des ressources

Découvrir des Thèmes