Vettori e numeri complessi
Dato un vettore v,è sempre possibile disegnarlo nel piano cartesiano .
Le coordinate del punto P,secondo estremo del vettore OP,si chiamano Componenti del vettore.
Poichè a ogni punto P è associato uno e un solo vettore OP,esiste una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA fra i NUMERI COMPLESSI e i VETTORI del piano di Gauss,che associa ad ogni numero a+bi il vettore che ha per componenti a e b ,e viceversa.
Allo stesso modo, se consideriamo il numero complesso nella sua rappresentazione polare (modulo e fase),possiamo affermare che esso identifica una ROTO-OMOTETIA, vale a dire la composizione di una omotetia di rapporto e centro origine degli assi e una rotazione attorno all'origine.
C'è però un limite alla rappresentazione vettoriale dei numeri complessi:mentre infatti le operazioni di somma e sottrazione hanno una perfetta analogia con la somma e sottrazione di vettori applicati nell'origine,la moltiplicazione non possiede analogie con il prodotto scalare e vettoriale tra vettori.
2.Considera i numeri complessi 6+i e -1+5i.Rappresenta i vettori associati ,determina la loro somma con la regola del parallelogrammae verifica che il vettore ottenuto è associato alla somma dei numeri dati.
Perché la corrispondenza vettori-numeri complessi è importante?
Una applicazione della corrispondenza biunivoca tra vettori e numeri complessi è riscontrabile in fisica nell'analisi dei circuiti in CORRENTE ALTERNATA.
Innanzitutto, con il termine corrente alternata si indica una corrente con dipendenza sinusoidale dal tempo, vale a dire avente la seguente espressione:
dove I è l'ampiezza della corrente alternata, è la pulsazione e è la fase iniziale; il segno indica lo sfasamento dell'onda.
Una grandezza alternata può essere rappresentata istante per istante da un punto P su una circonferenza di raggio pari all'ampiezza della grandezza alternata,punto che si muove con velocità angolare in senso antiorario,come mostrato nella seguente figura.
Il valore istantaneo della corrente alternata i(t) è la proiezione del punto P sull'asse y.Il punto P può essere considerato come il secondo estremo di un vettore di modulo I con il primo estremo fisso nell'origine e in rotazione in senso antiorario con velocità angolare . Per quanto detto precedentemente, ad un vettore siffatto può essere associato un numero complesso ,la cui parte reale e la cui parte immaginaria sono rispettivamente le componenti cartesiane x ed y del vettore. La conclusione dunque è che le operazioni che coinvolgono grandezze alternate si possono in tal modo ricondurre all'algebra dei numeri complessi.