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El problema de los patos

Problema:

Diez cazadores, todos infalibles (siempre aciertan el disparo), están dispuestos a cazar patos. Cada cazador sólo puede hacer un disparo y no sabe a qué patos disparan los otros cazadores. Disparan al mismo tiempo, eligiendo cada uno un pato al azar de entre los 10 que hay a tiro. ¿Cuántos patos sobrevivirán por término medio? ¿Cuál es tu impresión inicial? ¿Crees que sobrevivirán más o menos de la mitad?

Simulación (donde hemos preferido romper globos a matar patos :-)

Sugerencias para la Resolución del Problema:

  1. Intenta resolver variaciones más sencillas del problema: para 2 cazadores y 2 globos, para 3 y 3... Quizás lo anterior te conduzca a comprobar la creciente complejidad de intentar el recuento de todas las posibles elecciones de los cazadores y sus correspondientes números de globos supervivientes. Por ello te sugerimos intentar otra vía:
  2. En el caso de que sean 3 cazadores y 3 globos, ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva el globo nº 2?¿Y de que sobreviva el nº 1? Utiliza la simulación para corroborar tus respuestas.
  3. Si se repitiese el experimento (con 3 cazadores y 3 globos) 1000 veces, en cuántas de ellas cabe esperar que sobreviviese el globo nº 2? ¿Y los demás globos?
  4. Calcula (a partir del total de las supervivencias esperables tras esos 1000 experimentos) el promedio del número de supervivientes.
  5. ¿Coincide tu resultado con el obtenido al estudiar todos los casos posibles?
  6. Intenta extender el mismo método de resolución para 4 cazadores y 4 globos, 5 y 7,... 10 y 10.

Ampliación o profundización en el Problema:

  1. Cabe la posibilidad de estudiar el caso general y concretar la probabilidad de que sobrevivan s de p patos disparados por c cazadores buscando una pauta recurrente. Por ejemplo, para 5 cazadores y 3 patos, imaginemos que podemos observar mediante una cámara mágica los tres disparos sucesivamente. La probabilidad de que sobreviva 1 pato sería: P(5,3,1) = P(4,3,1).1/3+P(4,3,2).2/3 .
  2. Posteriormente se podría usar una hoja de cálculo para que fuese ella quien realice los engorrosos cálculos y la simulación para comprobar si los resultados se desvían significativamente o no.