El problema de los patos
Problema:
Diez cazadores, todos infalibles (siempre aciertan el disparo), están dispuestos a cazar patos. Cada cazador sólo puede hacer un disparo y no sabe a qué patos disparan los otros cazadores. Disparan al mismo tiempo, eligiendo cada uno un pato al azar de entre los 10 que hay a tiro.
¿Cuántos patos sobrevivirán por término medio?
¿Cuál es tu impresión inicial? ¿Crees que sobrevivirán más o menos de la mitad?
Simulación (donde hemos preferido romper globos a matar patos :-)
Sugerencias para la Resolución del Problema:
- Intenta resolver variaciones más sencillas del problema: para 2 cazadores y 2 globos, para 3 y 3... Quizás lo anterior te conduzca a comprobar la creciente complejidad de intentar el recuento de todas las posibles elecciones de los cazadores y sus correspondientes números de globos supervivientes. Por ello te sugerimos intentar otra vía:
- En el caso de que sean 3 cazadores y 3 globos, ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva el globo nº 2?¿Y de que sobreviva el nº 1? Utiliza la simulación para corroborar tus respuestas.
- Si se repitiese el experimento (con 3 cazadores y 3 globos) 1000 veces, en cuántas de ellas cabe esperar que sobreviviese el globo nº 2? ¿Y los demás globos?
- Calcula (a partir del total de las supervivencias esperables tras esos 1000 experimentos) el promedio del número de supervivientes.
- ¿Coincide tu resultado con el obtenido al estudiar todos los casos posibles?
- Intenta extender el mismo método de resolución para 4 cazadores y 4 globos, 5 y 7,... 10 y 10.
Ampliación o profundización en el Problema:
- Cabe la posibilidad de estudiar el caso general y concretar la probabilidad de que sobrevivan s de p patos disparados por c cazadores buscando una pauta recurrente. Por ejemplo, para 5 cazadores y 3 patos, imaginemos que podemos observar mediante una cámara mágica los tres disparos sucesivamente. La probabilidad de que sobreviva 1 pato sería: P(5,3,1) = P(4,3,1).1/3+P(4,3,2).2/3 .
- Posteriormente se podría usar una hoja de cálculo para que fuese ella quien realice los engorrosos cálculos y la simulación para comprobar si los resultados se desvían significativamente o no.