Extremwertaufgabe mit Nebenbedinung: Das Hühnerstallproblem
Ein Bauer möchte für seine Hühner einen Stall errichten. Dazu will er ein rechteckiges Gebiet an seiner Hauswand einzäunen. Für drei Seiten wird also ein Zaun benötigt. Ihm stehen 20 Meter Zaundraht zur Verfügung. Er überlegt, wie lang und wie breit der Stall werden muss, damit möglichst viele Hühner in den Stall passen.
Aufgaben:
- Ziehe an dem Kreuz und beobachte was passiert. Was ist dargestellt?
- Ermittle mit der Darstellung die optimalen Seitenlängen. Wie groß ist der Stall?
- Nun soll der maximale Flächeninhalt rechnerisch bestimmt werden: Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf: F = ... Tipp: Grübel nicht zu lange, die Gleichung ist einfach.
- Nebenbedinung: Stelle eine Gleichung für die Gesamtlänge des Zauns auf: 20 = ... Diese Gleichung nennt man Nebenbedingung.
- Zielfunktion: Löse diese Gleichung nach b auf und setze b in die Gleichung für den Flächeninhalt ein. Diese Funktion nennt man Zielfunktion. Welche Bedeutung hat diese Gleichung?
- Kontrolle: Kontrolliere Deine Lösung, indem Du die Zielfunktion unten in die Eingabezeile eintippst: y = .... Achte darauf, dass Du das a durch ein x ersetzt.
- Berechne: Berechne mit Hilfe dieser Gleichung den optimalen Flächeninhalt. Tipp: Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe. Vergleiche Deine Lösung mit Deinem Ergebnis unter Punkt 2.
Für Schnelldenker:
Aus einem Draht der Länge 50 cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche von maximalem Inhalt umrandet. Sie sind Länge und Breite des Rechtecks zu wählen?
Tipps:
Löse die Aufgabe wie im obigen Beispiel.
- Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf.
- Formuliere eine Nebenbedingung.
- Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setzte in die Zielfunktion ein.
- Berechne das Extremum.