Para jugar con curvas parametrizadas
Los estudiantes de ingeniería electrónica estaban en guerra con los estudiantes de ingeniería industrial (una especie de versión nerd de "Los juegos del hambre"). Los de electrónica hábilmente construyeron un lanzapiedras para asediar a sus oponentes, quienes por su parte construyeron una torre de de altura a una distancia de de donde se encontraban los electrónicos. A su vez, en la cima de esta torre se encargaron de construir una ballesta capaz de lanzar flechas a y la apuntaron en dirección del vector . Al enterarse de esto, uno de los astutos estudiantes de electrónica hizo un cálculo veloz y, al finalizarlo, se rió de sus adversarios.
¿Cuál fue el resultado que obtuvo?
Con los ánimos más altos que nunca, los electrónicos estaban listos para la guerra. Desafortunadamente, contaban con un único proyectil y debían ser meticulosos en cómo lanzarlo. Sabiendo que el brazo del lanzapiedras tiene de largo y que el mismo es capaz de dar un giro completo en segundos, calcule el instante exacto en el que debe soltarse la piedra para que impacte justo en la cima de la torre de los industriales; considere como el instante en que se pone en movimiento el brazo del lanzapiedras. Puede ensayar primero con la simulación cómo afecta el ángulo con el que se suelta la piedra a la trayectoria de la misma (¿cómo se relaciona este ángulo con el tiempo en el que se suelta?), y luego de resolver analíticamente, compruebe en la simulación la bondad de su resultado.
Sabiendo que
- representa la parametrización del proyectil de la catapulta.
- representa un vector en la dirección que se lanza la flecha.
- representa la parametrización del proyectil luego de rebotar.
- ¿Cuánto tiempo tarda la flecha de los industriales en llegar al suelo?
- ¿Cuánto tiempo tarda la roca de los electrónicos en golpear la torre?
- Si los industriales hubiesen tenido una mejor base en matemáticas, ¿en qué dirección (unitaria) hubiesen apuntado su ballesta?
- Si al golpear contra el banderín de la torre la roca rebota de manera que realiza exactamente el mismo recorrido, ¿cómo podría parametrizar esta nueva trayectoria? (Tener en cuenta que el parámetro comenzará, para el rebote, en el instante que rebota en el banderín).