Un nuovo modello di andamento delle quantità
Finora abbiamo studiato alcune leggi che descrivono diversi modelli di cambiamento delle quantità. Una delle principali tra quelle che abbiamo visto è quella dell'andamento lineare o proporzionalità lineare, che descrive situazioni in cui la variazione è costante in termini assoluti. Ad esempio se ho 500€ e per ogni ora di lavoro guadagno 20€, il denaro totale in mio possesso aumenta linearmente, perché ad una fissata variazione della variabile indipendente (lavoro 1 ora in più) corrisponde sempre una stessa variazione della variabile dipendente (il mio patrimonio aumenta di 20€). Si parla di andamento lineare perché la relazione è rappresentata sul piano da una retta.
Vediamo ora un diverso tipo di andamento, altrettanto importante, in cui la variazione è ancora costante ma in termini relativi.
Proviamo a fare il punto, e nel frattempo vediamo qualche altro esempio
LA FUNZIONE LINEARE (LA RETTA)
Una funzione lineare indica una variazione ASSOLUTA costante, cioè a parità di variazione dell'input , il risultato varia sempre della stessa quantità.
ESEMPIO: se metto in banca 2000€ e mi vengono dati 200€ di interessi all'anno.
Il mio patrimonio totale al passare degli anni è dato da .
- indica la situazione iniziale, in questo caso il mio patrimonio all'anno , infatti
- indica la velocità ASSOLUTA con cui varia la grandezza in esame, in questo caso il mio patrimonio aumenta di 200€ ogni anno, in fatti dopo anni ho euro in più.
LA FUNZIONE ESPONENZIALE
Una funzione esponenziale indica una variazione RELATIVA costante, cioè a parità di variazione dell'input , la variabile dipendente cambia di una frazione (o percentuale) costante del valore assunto in quel momento.
ESEMPIO 1: In un bosco ci sono 4000 piante ma un'epidemia fa sì che ogni anno ne muoia la metà.
La quantità ASSOLUTA di piante che sparisce ogni anno NON è costante, perché ogni anno il numero di alberi diminuisce della metà (cioè il 50%) di quelli presenti quell'anno . Riformuliamo il problema concentrandoci sulle piante che restano: se ne muore la metà, ne resta l'altra metà, possiamo verificare che il numero di piante dopo anni è dato dalla funzione
- indica la situazione iniziale, in questo caso il numero di piante all'anno , infatti
- indica la variazione RELATIVA della grandezza in esame, in questo caso ogni anno rimane , cioé il , delle piante presenti l'anno precedente. * Dopo un anno ci sono piante cioè la metà di quelle presenti all'inizio, * dopo 2 anni ce ne sono , cioè la metà di quelle presenti alla fine del primo anno: . * ...e così via: . In generale dopo ci sono piante, cioè il numero delle piante è dimezzato volte.
UN ESEMPIO PIÚ COMPLESSO: VARIAZIONI PERCENTUALI (E/O FRAZIONARIE)
Abbiamo visto che la funzione esponenziale descrive andamenti in cui la variazione relativa della quantità è costante: nel primo esempio ogni anno rimaneva la metà delle piante dell'anno precedente. Possiamo generalizzare e studiare un andamento in cui la variazione sia una frazione (o una percentuale, dato che sono la stessa cosa) qualsiasi della quantità di riferimento.
ESEMPIO 2: Metto 2000€ in banca ed ogni anno mi danno il 10% di interesse.
Prima di capire come la si ottiene, lo vedremo più sotto in questo paragrafo, verifichiamo che l'andamento del mio patrimonio è caratterizzato in modo simile al caso precedente:
, dove
Come si vede la variazione percentuale, cioè relativa, è sempre costante, ma ogni volta si tratta della percentuale di una quantità differente, cioè dei soldi in banca all'inizio di quell'anno, e quindi la variazione assoluta (i soldi guadagnati da un anno all'altro) cambia sempre.
Riscrivendo le caratteristiche di un andamento esponenziale in termini di percentuali abbiamo quindi che ne nostro esempio abbiamo:
- indica la situazione iniziale, in questo caso il mio patrimonio all'anno , infatti
- è li fattore moltiplicativo che indica la variazione relativa che subisce la grandezza in esame. Ogni anno infatti il mio patrimonio viene moltiplicato per e quindi per , e quindi vi è stato aggiunto il del patrimonio dell'anno precedente.
| Anni trascorsi | Patrimonio | calcolo interessi |
| 0 | | nessun interesse ancora maturato |
| 1 | | 10% di 2000=200 |
| 2 | | 10% di 2200=220 |
| 3 | 10% di 2420=242 |
- indica la situazione iniziale, in questo caso il mio patrimonio all'anno , infatti
- è li fattore moltiplicativo che indica la variazione relativa che subisce la grandezza in esame. Può essere espresso mettendo in evidenza la variazione relativa come : abbiamo visto che l'1 è associato al mantenimento della quantità iniziale e indica la variazione relativa (che può essere positiva o negativa) in termini di frazione e/o percentuale. Nel nostro esempio avevamo , che sono tutte forme equivalenti di .
![Confrontando le funzioni con un opportuno zoom si può vedere che la curva esponenziale dopo breve sale [i]molto[/i] più rapidamente di una retta.](https://stage.geogebra.org/resource/kvqrvjnd/MM6rDE4tXNo1BQLz/material-kvqrvjnd.png)
RICONOSCERE L'ANDAMENTO DEI DATI
Ripetiamo per l'ennesima volta la differenza tra andamento lineare ed esponenziale:
GRUPPO 2
GRUPPO 3
Partiamo dal gruppo 1. Nel primo anno in cui sono stati rilevati i dati (anno 3-4) la variazione è stata di unità. Poiché anche nella seconda annualità (anno 4-5) si ha una variazione pari a caprioli, la variazione assoluta (in questo caso 300 caprioli) in un dato intervallo (in questo caso annuale) sembra essere costante. Lo verifichiamo con l'ultimo periodo, che essendo il doppio degli altri (anni 5-7), dovrebbe portare ad una variazione doppia, ed infatti . Il gruppo 1 ha quindi un andamento lineare, che è descritto dalla funzione :
Per trovare imponiamo il passaggio per una qualsiasi delle coppie di valori, ad esempio che al terzo anno ci siano caprioli:
Per fare una previsione sulla popolazione dopo anni quindi basta valutare:
- nell'andamento lineare a parità di variazione delle si ha una variazione assoluta costante delle
- nell'andamento lineare a parità di variazione delle si ha una variazione relativa costante delle
| anno | popolazione |
| 3 | 3000 |
| 4 | 3300 |
| 5 | 3600 |
| 7 | 4200 |
| anno | popolazione |
| 3 | 3000 |
| 4 | 3300 |
| 5 | 3630 |
| 7 | 4392 |
| anno | popolazione |
| 3 | 3000 |
| 4 | 3390 |
| 5 | 3831 |
| 7 | 4523 |
SPUNTO DI RIPASSO
In quale altro modo puoi ottenere la forma della funzione in modo che indichi il numero di caprioli dopo che sono trascorsi anni dall'anno ?
Vediamo ora il gruppo 2. La variazione nella prima annualità (anno 3-4) è la stessa del primo gruppo, ma quella della seconda è diversa. Quindi possiamo escludere un andamento lineare.
Verifichiamo se la variazione relativa è costante.
Nell'anno tra il terzo ed il quarto abbiamo il
della quantità presente al terzo anno. Quindi in questo anno i caprioli sono aumentati del (o di , che è la stessa cosa)
Nell'anno tra il quarto ed il quinto abbiamo il
della quantità presente al quarto anno. Anche in questo caso in un anno sono aumentati del , la stessa variazione relativa, e quindi sembra che vi sia un andamento esponenziale.
Verificare la coerenza dell'ultimo dato è un po' meno immediato. Nei due anni tra i 5 ed il 7 la popolazione deve essere aumentata del 10% per due volte, cioè deve essere
Dato che i caprioli possono essere solo interi, il risultato registrato di 4392 è un'ottima approssimazione dell'andamento, che quindi può essere ritenuto esponenziale.
SPUNTO DI RIFLESSIONE
In questi due anni quanto è stato l'aumento percentuale rispetto alla quantità iniziale? è del ? Perché?
La funzione che indica la popolazione del secondo gruppo anni dopo la prima rilevazione è quindi
Anche in questo caso per trovare imponiamo che all'anno ci siano caprioli e troviamo i caprioli iniziali:
per trovare la popolazione del secondo gruppo a dieci anni dalla prima rilevazione basta sostituire
Quindi ci possiamo aspettare circa caprioli.
Concludiamo ora con il gruppo 3. La variazione durante la prima annualità (anno 3-4) è di caprioli; durante il secondo periodo di un anno (anno 4-5) . La variazione assoluta annuale non è costante, quindi dobbiamo escludere un andamento di tipo lineare.
Nell'anno tra il terzo ed il quarto la variazione percentuale è stata del
Nell'anno tra il quarto ed il quinto abbiamo
La variazione relativa sembra costante, ma per poter considerare affidabile la funzione che siamo costruendo essa deve dare risultati coerenti con TUTTI i dati a nostra disposizione: perché sia così nei due anni tra il 5 ed il 7 ci dovrebbe essere un aumento del 13% per due volte, quindi all'anno 7 il numero di caprioli dovrebbe essere
Il risultato ottenuto di circa 4892 è significativamente diverso dal dato in nostro possesso per l'anno 7, quindi neppure la variazione annuale relativa è costante, di conseguenza non si può parlare di andamento esponenziale. L'andamento dei caprioli segue un modello più complesso o che comunque non conosciamo, e quindi non siamo in grado di effettuare previsioni.