La derivata come velocità istantanea
- Autore:
- Ilic Ferretti
- Argomento:
- Derivata
Sappiamo che una funzione è una relazione che dato un certo valore dell'input permette di calcolare il corrispondente risultato .
La derivata della funzione , che vedremo è rappresentata dai simboli o anche , è una nuova funzione, legata ad , che si pone il problema di calcolare la velocità con cui varia il risultato rispetto alla .
ESEMPIO 1: la funzione restituisce la popolazione di una certa nazione al trascorrere in funzione degli anni, di conseguenza è il numero di abitanti nel . Se calcoliamo la derivata di , possiamo usarla per calcolare la velocità con cui cambia la popolazione; ad esempio ci fornirà la velocità con cui stava aumentando o diminuendo la popolazione nel .
Nella seguente animazione affronteremo i seguenti passi:
- vedremo come questa importante informazione è associabile visivamente all'inclinazione del grafico della funzione.
- questo ci suggerisce di rifarci al caso più semplice (e per ora l'unico) in cui sappiamo calcolare tale inclinazione coefficiente angolare di una retta.
- il primo passo sarà quindi quello di approssimare la curva della funzione con una spezzata,
- vedremo infine come migliorare sempre più questa approssimazione fino a giungere al risultato esatto
Abbiamo visto che se i nostri soldi dopo mesi sono dati dalla funzione , la derivata della funzione ci dice la velocità con cui questi stanno cambiando dopo mesi.
Per calcolarla seguiamo il seguente procedimento:
1) Calcoliamo la velocità media con cui i soldi cambiano nell'intervallo di durata tra l'istante e . Tale velocità media è data dalla solita formula , che graficamente non è altro che il coefficiente angolare del segmento che unisce i due estremi dell'intervallo. Considerando come si calcolano le due variazioni si ha:
Questa espressione prende il nome di rapporto incrementale, cioè rapporto (divisione) tra gli incrementi (le variazioni) delle due grandezze (in questo caso soldi e tempo).
Per una funzione generica il rapporto incrementale assume la forma
Nella scrittura abbiamo esplicitato il fatto che il rapporto è una funzione il cui risultato dipende da due variabili: valore di partenza per cui la si vuole calcolare e l'estensione dell'intervallo su cui si fa la media.
2) Rendiamo sempre migliore l'approssimazione della media riducendo l'intervallo su cui la si calcola. Questo lo si ottiene facendo il limite del rapporto incrementale per . Mantenendo la scrittura matematica per una generica funzione abbiamo:
Il risultato di tale limite dipende solo dal valore di partenza per cui vogliamo calcolare la velocità ( sparisce perché lo facciamo tendere ad valore determinato, in particolare a zero) ed è detto valore della derivata per .
Dato che il calcolo della derivata può ripetersi per qualsiasi valore di , la derivata è quindi una funzione associata alla funzione "principale" (o derivata da essa, appunto): mentre ad un certo valore di associa un risultato corrispondente a quell'input, dato lo stesso valore di permette di calcolare la velocità con cui tale risultato sta cambiando in corrispondenza di quello stesso input (ad esempio in quell'istante, se è il tempo.
Rivediamo questi concetti nella prossima animazione, che li affronta da un punto di vista più generico di una funzione matematica e delle sue caratteristiche geometriche.
Riassumendo ancora una volta (tralasciamo i conti, questa volta):
- vogliamo trovare l'inclinazione della funzione in un certo suo punto, ovvero quanto velocemente le cambiano rispetto alle .
- per farlo ci appoggiamo ad una retta secante alla funzione, cioè ad una retta che passa per il punto che ci interessa e per un secondo punto calcolato aumentando la di un certo incremento . Il coefficiente angolare di questa retta, che può essere calcolato con la solita formula, si chiama rapporto incrementale (cioè rapporto tra l'incremento in e quello in ).
- se consideriamo valori sempre più piccoli per , cioè lo facciamo tendere a , la retta da secante diventa tangente (i due punti della funzione per cui passa diventano lo stesso punto) e la sua inclinazione può essere considerata quella che la funzione assume effettivamente in quel punto. Quello che otteniamo si chiama derivata della funzione nel punto.