Fractions continues et demi-plan de Poincaré, Partie 6
- Auteur :
- Ole
On montre avec cette sixième figure les liens ténus entre les équations dites de Pell-Fermat https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Pell-Fermat et l'algorithme des fractions continues appliqué à des racines carrées , N non carré parfait. On sait que comme , l'algorithme n'a pas d'arrêt naturel.
Un théorème de Lagrange http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=41029 nous assure cependant que ce développement est cyclique.
Toujours dans le cadre du demi-plan de Poincaré, on va même débusquer une homographie hyperbolique qui est le coeur de ce cycle, et par suite on va se donner les moyens d'expliquer le signe changeant du membre de droite (soit +1, soit -1) des équations de Pell-Fermat: ce signe est directement lié à la parité de L(N), si on note L(N) la longueur du cycle du développement en fractions continues de la racine carrée de N.