Demonstração da Relação de Euler
Relação de Euler
Participantes: Flavia, Pedro, Christian e Dagman
1) Proposta:
Apresentar a Relação de Euler e sua importância no estudo dos poliedros convexos, utilizando o Geogebra como ferramenta de apoio.
. Definição de poliedros convexos;
. Definição de superfície poliédrica limitada convexa: aberta e fechada, como base de visualização de um poliedro;
. Apresentar a evolução histórica da relação de Euler e seu aprendizado, partindo da visão de um conjunto de polígonos que se fecham, dentro de uma definição de padrões pré-estabelecidos (polígonos convexos ---> poliedros convexos .
. Demonstrar por indução finita simples e intuitiva a relação de Euler:
1º ) vértices – arestas + faces = 1 : De um poliedro convexo aberto.
2º) V – A + F= 2 : De um poliedro convexo fechado.
2) Roteiro
. Definição de poliedros convexos abertos e fechados;
. Breve histórico de Leornado Euler, como o compilador da relação apresentada: V – A + F= 2 ,muito em função de seu papel de escritor de livros matemáticos didáticos, em seu longo período na Universidade Russa de São Petersburgo. Euler não só foi professor universitário, mas auxiliou, à pedido do governo czarista , na criação de livros escolares para desenvolver o ensino básico/médio no país. (Fonte : Leonhard Euler: His Life and Work – by A.P Yushkevich. Capítulo do livro: “ Euler and Modern Science’’ – MAA- THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA).
. Demonstração da relação de Euler por indução finita de poliedros convexos, apoiada pela ilustração gráfica no Geogebra.
3) Distribuição da apresentação entre os elementos do grupo:
Pedro: Definições básicas e breve introdução histórica;
Christian: Sequência da demonstração;
Flávia: Sequencia da demonstração e analise da proposta de ensino do tema;
Dagman: Sequencia da demonstração e operação do sistema gráfico no Geogebra.
4) Bibliografia utilizada
. Elementos da Matemática Elementar - vol 10 Geometria espacial (Osvaldo Dulce e Jose Nicolau Pompeo).
. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias Elon Lages Lima
. A Matemática do Ensino Médio – vol 2 Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto Cesar Morgado
. História da Matemática - Carl Boyer
. Euler Modern Science
N.N. Bogolyubou
G.K. Mikhailou e A.P Yushkevich.
MAA – Comemorando os 200 anos de nascimento de Leonard Euler. (Escrito por três matemáticos russos, em homenagem ao trabalho acadêmico e didático significativo para a educação matemática russa).
Relação de Euler
Demonstração
a) Por indução finita referente ao número de faces ,vamos provar ,em caráter preliminar , que , para uma superfície poliédrica limitada convexa aberta vale a relação:
Va –Aa +Fa=1
Onde
Va é o número de vértices
Aa é o número de arestas
Fa é o número de faces
da superfície poliédrica limitada aberta
1) Para Fa= 1
Neste caso a superfície se reduz a um polígono plano convexo de n lados e , então Va = n , Aa = n e temos
Va – Aa + Fa = n – n+1= 1 à Va – Aa+ Fa = 1
Logo , a relação está verificada para Fa = 1
2) Admitindo que a relação vale para uma superfície de F’ faces (que possui V’ vértice e A’ arestas ) , vamos provar que também vale para uma superfície de F’+1 faces ( que possui F’ + 1= Fa faces ,Va vértices e Aa arestas ) .
Por hipótese para a superfície para a superfície de F’ faces , A’ arestas e V’ vértices vale :
V’ – A’ +F’=1
Acrescentando a esta superfície (que é aberta) uma face de p arestas ( lados ) e considerando que q destas arestas ( lados ) coincidem com arestas já existentes , obteremos uma nova superfície com Fa faces ,Aa arestas e Va vértices tais que :
Fa = F’ +1
Aa = A’+ p – q ( q arestas coincidiram )
Va = V’+ p – (q + 1) ( q arestas coincidindo , q + 1 vértices coincidem)
Formando as expressões Va – Aa + Fa e substituindo os valores acima vem :
Va – Aa + Fa = V’ + p – ( q + 1) – (A’ + p - q) + (F’+1)=
= V’+ p – q – 1 –A’ – p + q + F’ + 1 = V’- A’ + F’
Como Va – Aa + Fa = V’ – A’ + F’ ,provamos que esta expressão não se altera se acrescentamos (ou retiramos ) uma face de superfície .
Como , por hipótese , V’ – A’ + F’ = 1
Va – Aa +Fa =1
o que prova a relação preliminar .
b) Tomemos a superfície de qualquer poliedro convexo ou qualquer superfície poliédrica limitada convexa fechada ( com V vértices , A arestas e F faces ) e dela retiremos uma face. Ficamos , então , com uma superfície aberta ( Va vértices , Aa arestas e Fa faces ) para a qual vale a relação
Va – Aa + Fa = 1
como
Va = V , Aa=A e Fa = F – 1 ,vem V – A + (F – 1 ) = 1 ou seja :
V – A + F = 2
No segundo arquivo do Geogebra você pode ver os Poliedros de Platão e suas planificações, conte os vértices e as Faces e aplique a relação de Euler(V+F=A+2) para achar o número de arestas de todos os poliedros mostrados.