Le equazioni
In questo capitolo arriveremo a scrivere le equazioni che descrivono la trasformazione del punto P tramite una rotazione di centro C e angolo α.
Per poter scrivere le equazioni abbiamo bisogno di introdurre un nuovo sistema di coordinate: le coordinate polari.
Coordinate polari
Le coordinate polari sono un sistema di coordinate nel piano della forma .
Ogni punto viene univocamente individuato da una coordinata radiale e una angolare, la prima rappresenta la distanza del punto da un punto fisso detto polo, la seconda identifica l'angolo che una semiretta a 0° deve spazzare in senso antiorario per sovrapporsi a quella che congiunge il punto al polo.
Un sistema di coordinte polari è in corrispondenza biunivoca con un sistema di coordinate cartesiane.
Centro di rotazione coincidente con l'origine
Partiamo dalla situazione più semplice: supponiamo che il centro di rotazione C coincida con l'origine.
Consideriamo il punto P di coordinate cartesiane e di coordinate polari .
si ha:
Consideriamo ora il punto P’, di coordinate , immagine di P tramite una rotazione di centro l’origine e angolo α orientato positivamente. Le coordinate polari di P’ sono poichè la rotazione mantiene la distanza dal centro e l'angolo che la semiretta a 0° deve spazzare per sovrapporsi a quella che congiunge P' con C è pari alla coordinata angolare di P (β) più l'angolo di cui P' è ruotato rispetto a P (α) come puoi vedere dall'immagine sotto.
Vogliamo evidenziare in che modo le coordinate di P' dipendono da quelle di P e dall'angolo di rotazione α. Applichiamo le formule trigonometriche e otteniamo:
Ora che abbiamo ricavato le equazioni osserva la costruzione sotto.Ora tocca a te!
Come sono le coordiante del punto P' se P viene ruotato di 90°?
Caso generale
Per trovare le equazioni di una generica rotazione di centro C e angolo α si procede componendo una traslazione di passo -C, che porti il punto C in O, una rotazione di centro O e angolo α e una traslazione di passo C, che riporti O in C.
Segui i vari passaggi aiutandoti con la costruzione riportata sotto.
Siano e le coordinate del centro C e del punto P.
Passo 1 - traslazione di vettore -OC
Passo 2 - rotazione di centro O e angolo α
Passo 3 - traslazione di vettore OC
Il punto P', immagine di P tramite rotazione di centro generico C e angolo α, avrà coordinate .
Ora tocca a te!
Usando le equazioni appena trovate calcola le coordinate del punto P' ottenuto da P=(1;-2) tramite una rotazione di centro C=(-2;-4) e angolo α=180°