Pythagoras 3D
- Autor:
- Reinhard Schmidt
Die räumliche Version des Satzes von Pythagoras
Johannes Faulhaber (1580 - 1635) verdanken wir eine höchst erstaunliche Entdeckung: Der wohlbekannte Satz des Pythagoras besitzt eine Entsprechung im Raum.
Im folgenden Applet kann man sich davon überzeugen, dass es in einer Dreieckspyramide eine einfache Beziehung zwischen den Flächeninhalten der 4 Dreiecksseiten gibt. Voraussetzung ist, dass drei der vier Dreiecke rechtwinklig aufeinander stoßen.
Beweis mit den Mitteln der Vektorgeometrie
Mit den Bezeichnungen , und gilt für die Inhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke (man könnte sie etwas flapsig als "Kathetendreiecke" bezeichnen): , und .
Für das vierte Dreieck ("Hypotenusendreieck") gilt: .
Daraus folgt sofort:
Gilt auch die Umkehrung?
Zeige durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen nicht gilt.
Beweis für den Fall a = b = c
Beweise die Aussage für den Fall "elementar", also ohne Vektorprodukt.
Untersuchungen an verwandten Körpern
Untersuche weitere Dreieckspyramiden, die von mindestens drei rechtwinkligen Dreiecken begrenzt werden, auf ähnliche Zusammenhänge.