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Noções e Proposições Primitivas

O que é um axioma?

Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação. Um sistema axiomático é o conjunto dos axiomas que definem uma determinada teoria e que constituem as verdades mais simples a partir das quais se demonstram os novos resultados dessa teoria. O axioma contém evidência em si próprio e por isso não precisa ser demonstrado.

Axiomas de incidência

Axioma 1- Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem à reta.
Axioma 2- Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém. Observação: quando duas retas tem um ponto em comum diz-se que elas se intersectam ou que elas se cortam naquele ponto.

Atividade 1

No applet Geogebra anterior, selecione a opção Reta (janela 3) e crie uma reta que passa pelos pontos B e D. Crie outra reta que passa por D e C. A última reta está no mesmo plano que contém as outras duas?

Proposição 1

Duas retas distintas ou não se intersectam ou se intersectam em um único ponto.

Atividade 2

Quais pares de retas se intersectam? As retas g e h se intersectam?

Prova da Proposição 1

Hipótese: Sejam m e n duas retas distintas. Tese: m e n não se intersectam ou se intersectam num único ponto. A intersecção destas duas retas não pode conter dois ou mais pontos, do contrário, pelo axioma 2 (Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém), elas coincidiriam. Logo a intersecção de m e n ou contém apenas um ponto ou é vazia.

Atividade 3

Entendeu a prova? Consegue explicar de outra maneira? Caso não tenha entendido, escreva o que não entendeu.

Axioma 3

Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois.

Definição 1: Segmento

O conjunto constituído por dois pontos A e B e por todos os pontos que se encontram entre A e B é chamado segmento AB. Os pontos A e B são chamados de extremos do segmento.

Atividade 4

Na construção anterior, selecione a ferramenta Segmento (janela 3) e crie os segmento BC, CE e AC. Caso tenha dificuldades, escreva aqui.

Definição 2: Semirreta

Se A e B são pontos distintos, o conjunto constituídos pelos pontos do segmento AB e por todos os pontos C tais que B encontra-se entre A e C é chamado semirreta de origem A contendo o ponto B.

Observação 1

Nos livros tradicionais, em geral, a semirreta é representada apenas com uma "Flecha"

Observação 2

Observe que dois pontos A e B determinam duas semirretas: SAB e SBA.

Axioma 4

Dados dois pontos A e B de uma reta. Sempre existem: um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e D.

Ilustração

Observação 3

Uma consequência deste axioma é que, entre quaisquer dois pontos de uma reta, existe uma infinidade de pontos.

Definição 3: Semiplano

Sejam m uma reta e A um ponto que não pertence a m. O conjunto constituídos pelos pontos de m e por todos os pontos B tais que A e B estão em um mesmo lado da reta m é chamado de semiplano determinado por m contendo A.

Movimente o ponto A e veja os semiplanos

Axioma 5

Uma reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja intersecção é a reta m.