Streckung in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse
1. Streckung in y-Richtung
(I) Potenzfunktionen
Zu Beginn wollen wir uns einfache Potenzfunktionen ansehen und nehmen folgende Einschränkung vor:
Aufgabe:
a) Betrachte die Graphen unten und variiere sowohl den Exponenten als auch den Koeffizienten . Überlege dir, welche Veränderung durch deine Wahl von am Graphen von vorgenommen wurde, damit der Graph von ensteht.
Als grafische Hilfe kannst du dir feste Punkte und Pfeile einblenden lassen.
b) Vergleiche die beiden Funktionsgleichungen und überlege dir, aus welchen beiden Bestandteilen sich die Gleichung der Funktion zusammensetzt (Lösung unten).
c) Blende nun die Wertetabelle ein und vergleiche die Funktionswerte von und . Beschreibe die Lage der orangen Punkte zur -Achse im Vergleich zur Lage der blauen Punkte zur -Achse (Lösung unten).
d) Welcher Punkt nimmt eine Sonderstellung ein? Erkläre mithilfe der Wertetabelle, wie die Sonderstellung zustande kommt (Lösung unten).
(II) Ganzrationale Funktionen
Betrachtet werden im Folgenden die Graphen ganzrationaler Funktionen. Es wird sich zeigen, dass die Übertragung der obigen Ergebnisse vergleichbar leicht von der Hand gehen wird, wie bei der Verschiebung von Funktionsgraphen. ;-)
Aufgabe:
a) Gib eine beliebiges Polynom ein (grünes Feld); die zugehörige ganzrationale Funktion heißt . Gib ein weiteres Polynom ein (blaues Feld); die zugehörige Funktion heißt . Diese soll folgende Bedingung erfüllen:
Der Graph von geht durch Streckung des Graphen von in -Richtung mit Faktor 2 hervor.
Tipp: Du hast im Warm Up schon mit der Sinusfunktion gearbeitet. Beachte die Reihenfolge, nach der die Rechenoperationen ausgeführt werden, und übertrage sie auf die ganzrationalen Funktionen.
Aktiviere nun das Kontrollkästchen "Schieberegler, h(x)". Dir wird nun der Graph der Funktion angezeigt.
b) Solltest du die Funktionsgleichung von schon in a) richtig gehabt haben, so kannst du direkt zu c) übergehen. Falls nicht, so bearbeite b) fertig.
Aktiviere das Kontrollkästchen "Funktionsgleichung h(x)". Vergleiche den Term von mit dem von (grünes Feld). Überlege dir, wie der Funktionsterm von aus dem von hervorgeht. Überprüfe deine Vermutung, indem du die Hilfe einblendest.
c) Blende die Hilfe und die Wertetabelle ein. Erkläre mithilfe der Wertetabelle, weshalb es wichtig ist, dass hier im Funktionsterm die Klammern stehen.
Tipp: Du kannst dich auch an der Gleichung orientieren, die du in Aufgabe b) zur Streckung von Potenzfunktionen aufgestellt hast.
(III) Spiegelung an der x-Achse
Den Abschluss dieses Abschnitts bilden an der -Achse gespiegelte Graphen. Da du die Spiegelung bei einigen Funktionstypen bereits kennengelernt hast, wird dieser Abschnitt relativ kurz gehalten ;)
Erinnere dich zunächst an die quadratischen Funktionen der Form . Wir haben bereits gelernt, dass die Parabel für bauchiger und für schmaler ist. Außerdem weißt du schon, dass eine Parabel für positives nach oben und für negatives nach unten geöffnet ist.
Genau dieser letzte Aspekt, nämlich die Betrachtung des Vorzeichens von liefert uns den Hinweis darauf, wie man im Allgemeinen einen Funktionsgraphen an der -Achse spiegeln bzw. woran man eine Spiegelung an der -Achse erkennen kann.
Aufgabe:
a) Überlege dir, wie man die Sinuskurve an der -Achse spiegeln konnte. Überprüfe grafisch deine Überlegung im GeoGebra-Applet unten anhand einer beliebigen Sinusfunktion (grünes Feld). Aktiviere im Anschluss das Kontrollkästchen "g(x)".
Deaktiviere das Kontrollkästchen wieder.
b) Gib nun ein beliebiges Polynom ein (grünes Feld) - die zugehörige ganzrationale Funktion wird mit bezeichnet - und einen Funktionsterm (blaues Feld), der zu einer Funktion gehören soll, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse hervorgeht.
Blende zur Überprüfung den Funktionsterm mithilfe des Kontrollkästchens ein.
c) Blende Punkte, Pfeile und Wertetabelle ein. Vergleiche die Funktionswerte von und . Versuche durch die grafischen Hilfe und die Funktionswerte den Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen in einer allgemeinen Gleichung festzuhalten (Lösung unten).
Hole dir das Arbeitsblatt bei deinem Lehrer, um das gerade Gelernte zu sichern! Danach geht es zum Endspurt :) Als letztes steht nun noch die Streckung in -Richtung auf dem Plan.
Hinweise:
Du kannst die Applets oben als Hilfsmittel benutzen. Zeichne farbige Pfeile mit geeigneter Beschriftung in das Koordinatensystem und die Wertetabelle ein, um zu verdeutlichen, was bei der Streckung in -Richtung mit dem Graphen und den Funktionswerten geschieht.
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