４次までの対称群の行列表現
二次の対称群Ｓ2。元は２個でｅと（１２）。
３次の対称群Ｓ3。元の数は３！＝６。
３次の交代群Ａ3
次の交代群は巡回群（一つの元から全ての元が生成できる群）で、さらに３次の直交行列になっている。
上のＳ3の正規部分群になっている。
なお、上の図では(１２)＝２１３はＤ１に、(１２)(２３)＝２３１はＥ１に対応している。
３次の交代群Ａ3
４次の対称群Ｓ4
３次までの対称群は簡単に計算できる。
でも、４次となると元の数は２４個となり、手で計算しようという勇気が出ない。
そこで表計算を使って表を作ると簡単にできる。
左の表は行列を作るためのもの。
この表の右下を見ると、群表が出てくる。
少し色分けしておいた。
行列と置換群は変換された結果とそのまま自然に対応する。
例えば、（２３）＝１３２４はＵ２５に、（２３）（３４）＝１３４２はＶ２５に対応している。