Valor Absoluto (e inecuaciones)

Autor:
JLF

1. Concepto

El valor absoluto de un número es el valor numérico del número (sin signo, que es lo mismo que con signo positivo). El valor absoluto del número a se representa por |a|. Ejemplos:
  • |-1| = 1
  • |-2| = 2
  • |0| = 0
  • |1| = 1
  • |4,5| = 4,5
  • |-0,3| = 0,3
Nótese que:
  • si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
  • si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con signo positivo);
  • si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.

2. Función Valor Absoluto

Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales:  Podemos escribirla como una función a trozos:  La función es continua en los reales y derivable en los reales excepto en 0. La gráfica de esta función es: 

3. Propiedades

  • El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:
  • El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores: 
  • Valor Absoluto de la suma:
  • Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual) podemos escribir que es lo mismo que decir (tienen que cumplirse ambas relaciones). Dicho en forma de intervalos: Si la desigualdad es (mayor o igual) podemos escribir (es una unión: tiene que cumplirse una de las dos). Dicho en forma de intervalos: 

4. Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto

Vamos a resolver algunas inecuaciones con valor absoluto. Para ello usaremos la última propiedad del apartado anterior: Ejemplo 1 Podemos escribir la inecuación como  Tenemos que resolver las dos inecuaciones. Podemos hacerlo al mismo tiempo: Sumamos 1:  O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado: De ambas formas obtenemos la misma solución: Ejemplo 2 Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones:  Resolvemos la primera: Resolvemos la segunda: Por tanto, la solución es:  Ejemplo 3  Tenemos las dos inecuaciones:  Resolvemos la primera:  No podemos multiplicar por x porque no sabemos si es positiva o negativa.Supongamos que x es positiva ( x > 0): ahora sí podemos multiplicar por :  Por tanto, cambiando la desigualdad al dividir por el negativo -2, tenemos  Pero hemos dicho que x > 0, luego al unir ambas condiciones tenemos que  (ya que es la más restrictiva).Supongamos ahora que x es negativa: x < 0:  Por tanto, la solución a esta primera inecuación es  Resolvemos la segunda inecuación procediendo del mismo modo:  Si x es positiva:  Si x es negativa:  Por tanto, la solución a la segunda inecuación es:  Las soluciones de las dos inecuaciones son:  Y tienen que cumplirse ambas. Por tanto, la solución es