Da R⁺ a R e alle diseguaglianze e disequazioni
- numeri positivi e numeri negativi; l'asse reale: abbiamo visto, all'inizio, che fra gli enti primitivi della teoria di C c'è l'insieme R+ dei numeri reali positivi. A partire da questo possiamo definire l'insieme R- dei numeri negativi, che sono gli opposti dei numeri positivi. L'insieme R dei numeri reali è definito come l'unione R+ U {0} U R- (numeri positivi, numeri negativi e 0)
- da R+ all'ordinamento in R (relazioni < e > ): a partire da R+ possiamo anche definire gli ordinamenti in R: diremo che x è minore di y (x e y numeri reali), scrivendo, come è noto, x<y, quando y-x è in R+. In tal caso scriviamo anche; y>x (y maggiore di x). Inoltre, si introducono le notazioni per le relazioni "minore o uguale" (x≤y significa che x<y oppure x=y) e "maggiore o uguale" (x≥y significa che x>y oppure x=y)
- gli insiemi R+, R e l'ordinamento in R godono delle seguenti proprietà (i quattro assiomi sui numeri reali; questi costituiscono il secondo gruppo di assiomi della nostra teoria):
- assioma dello zero e dell'uno : 0 non è in R+, mentre 1 è in R+
- chiusura additiva di R e di R+ : 1) se x e y sono in R, la somma x+y è anche in R 2) se x e y sono in R+, la somma x+y è anche in R+
- densità di R : se x e y sono numeri reali tali che x<y, allora esiste almeno un numero reale r tale che x<r e r<y (brevemente si scrive x<r<y e si dice che r è strettamente compreso fra x e y)
- completezza di R : se A e B sono sottoinsiemi non vuoti di R tali che ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B (brevemente si dice che A precede B) allora esiste almeno un elemento r maggiore o uguale di ogni elemento di A e minore o uguale di ogni elemento di B (brevemente si dice che r è compreso tra A e B).
- Utilizzando i precedenti 4 assiomi si possono dimostrare vari teoremi sui numeri reali, nonché la notevole proprietà seguente: divisibilità in parti uguali di un numero reale (teorema di esistenza e unicità del sottomultiplo): dato un numero reale x e dato un numero naturale non nullo n, esiste un unico numero reale x', indicato con x/n, tale che n•x'=x. Pertanto vale la relazione n•(x/n)=x.
Da R⁺ = ]0,∞[ agli intervalli chiusi, semichiusi, aperti; limitati o illimitati
Vedi anche l'applet PAGG seguente: http://tinyurl.com/errepluspagg5