Operaciones entre matrices

Autor:
Hector

VECTORES Los vectores son matrices de un renglón ó una columna. SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices y ambas de tamaño x, es la matriz de tamaño x dada por la suma de elemento a elemento. Por ejemplo:

La matriz se obtiene sumando los componentes correspondientes de las matrices y . NOTA: solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR  Si multiplicamos una matriz de tamaño x por un escalar   tenemos como resultado una matriz de tamaño x. Por ejemplo.
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Y DEL PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.  Sean , y matrices de tamaño x y , escalares. 1.    CONMUTATIVA:  ; 2.    ASOCIATIVA:    ;        3.    DISTRIBUTIVA:     ;        . 4.    ELEMENTO NEUTRO: x + (matriz cero: );  1A = A. 5.   x= x. INVERSO ADITIVO Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES Una matriz de tamaño x tiene una matriz opuesta que se obtiene multiplicando cada elemento de por el escalar .  La sustracción de las matrices y , está determinada como la suma de la matriz y la matriz opuesta (inverso aditivo) de .         Por ejemplo:

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Producto de dos vectores Sean a y b dos n-vectores (matrices de n elementos en una sola fila o columna), de forma que y , su producto escalar de y denotado por está dado por El producto escalar se conoce también como producto punto (por el operador) o producto interno y su resultado es un escalar (no un vector). Nota: para efectuar el producto escalar es necesario que los vectores tengan el mismo tamaño. Ejemplo:  Un fabricante elabora 5 tipos diferentes de perfume con ventas mensuales de cada versión dadas por el vector y con precios unitarios dados en el vector , el total de ingresos por las ventas de los perfumes en el mes se obtiene multiplicando la cantidad vendida por el precio unitario, v por p , y sumando cada producto: Total Con frecuencia el producto escalar se efectúa entre un vector renglón y un vector columna.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR  Sean , y tres -vectores y un escalar 1.        ( 0 es el n-vector 0n ) 2.    (propiedad conmutativa) 3.    a (propiedad distributiva) 4.      PRODUCTO DE DOS MATRICES Sean dos matrices de tamaño x y de tamaño x. Entonces el producto de las matrices y , denotado por es una matriz   de tamaño x de donde = producto del renglón de por la columna de . (producto escalar)

Por ejemplo.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 1.    Sean las matrices x , xy x entonces (propiedad asociativa) 2.     Suponiendo que todas las sumas y todos los productos están definidos, entonces          y  (propiedad distributiva) 3.    Sea la matriz x matrices unidad de tamaño y respectivamente, entonces .   Nota: la matriz unidad , se conoce también como matriz identidad. Es una matriz cuadrada (tamaño x), cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1, y los demás elementos son ceros.