Sammensat funktion
Ord på det, vi allerede gør
Sammensatte funktioner er funktioner, hvor man behandler input ad to omgange: Først med en funktion, og derefter med en anden funktion. Alle sammensætninger kan opfattes som opbygget på denne måde: Hver funktion kan jo i sig selv være en sammensat funktion. Og alle funktionstyper kan i princippet indgå som ydre eller indre funktion i en sammensætning (komposition).
Eksempel
Betragt en potensfunktion med rational eksponent. Hvis der er noget du vil friske op, kan du se et GeoGebra-arbejdsark her.
Funktionen . Lighedstegnene "jonglerer" lidt med potensregnereglen for potens-i-potens (eksponentproduktreglen) og det faktum, at multiplikation er kommutativ, altså at uanset faktorernes orden fås samme produkt. Lad os holde fast ved det sidste udtryk for denne potensfunktion og se på det som en beregning i to trin: Først beregnes kuben på tallet x. Så tages kvadratroden af det, der er kommet ud af at sætte i tredje potens. Og først da har vi potensfunktionens værdi for det pågældende input, x.
En sådan beregning i flere trin, hvor hvert trin jo kan beskrives som en funktion i sig selv, er netop hvad vi vil beskrive som en sammensat funktion.Vi kunne her sige, at og at . NB: Jeg har brugt to forskellige symboler for den uafhængige variabel i de to funktioner g og h, for at antyde, at det ikke er det samme tal, der "går ind" i begge de to funktioner - derimod er det jo tallet som kommer ud af funktion g, som går ind i funktion h, så vi kunne faktisk skrive hele historien . Værdi indsat: Hvad er ? Vi opløfter 4 til kuben, . Så tager vi kvadratroden af det der kom ud, . Altså er .
Indre og ydre funktion - interaktivitet
Herunder kan du arbejde med en sammensat funktion, med nogle (forprogrammerede) eksempler på indre og ydre funktioner. Prøv at flytte punktet , som på den indre funktions graf så får koordinaterne . Du vil se, at det røde punkt i ruden til venstre rykker lige så meget op og ned, som det røde punkt i ruden til højre rykker sideværts. Kan du se sammenhængen til den sammensatte funktions graf i ruden til højre?
OBS OBS OBS
Grafen viser g(f(x)), ikke g(y). KH
Allan
Det vil give mening at
Det vil give mening at
- lave højre rude (Tegneblok 2) om til alene at være den ydre funktion, og at
- bede eleven om at skrive den sammensatte funktions forskrift
Indre og ydre funktion, grafisk
I appen herover har du en indre funktion , som du vælger med skyderen n i ruden til venstre, og en ydre funktion , som du vælger med skyderen m i ruden til højre.
Indre funktion
I ruden til venstre kan du vælge en x-værdi, med skyderen i venstre rude, og forskydningen til et nabopunkt på den indre funktion.
Samtidig kan du vælge mellem forskellige funktioner (prøv skyderen n i ruden til venstre) som eksempler på en indre funktion.
Den funktionsværdi, som den indre funktion giver, vises som førsteakse i ruden til højre. Højden af punktet på den røde graf er vist som førstekoordinat (rødt punkt) i ruden til højre.
Ydre funktion
Grafen i ruden til højre er den sammensatte funktion. Du kan også her vælge en forskydning k til et nabopunkt. Den linje, der skærer gennem det faste punkt på den sammensatte funktions graf (over det røde punkt) og nabopunktet, kaldes en sekant. For at bestemme en ret linje kræves to punkter, hvorfor sekanten forsvinder, hvis (hvis altså det faste punkt og nabopunktet falder sammen). Mere om sekant.