Tres círculos tangentes en semicírculo
En un semicírculo de radio R = 4 se inscriben tres círculos tangentes.
i) Sean r, R1 y R2 los radios de los círculos, de menor a mayor. Demuestre que:
1/rq(r) = 1/rq(R1) + 1/rq(R2)
ii) Demuestre que R1 + R2 <= 8(rq(2) - 1)
iii) Deduzca que r <= rq(2) - 1
Nota: rq(x) = raíz cuadrada de x
Trazando por E o por G una paralela al diámetro AB del semicírculo, tenemos que:
CH = rq((R2 + R1)^2 - (R2 - R1)^2) = 2rq(R2*R1)
Igualmente, trazando por I una paralela a AB, se forman otros dos triángulos rectángulos, en los que vemos que:
CJ = rq((R1 + r)^2 - (R1 - r)^2) = 2rq(r*R1)
JH = rq((R2 + r)^2 - (R2 - r)^2) = 2rq(r*R2)
Como CH = CJ + JH, simplificando por 2, tenemos que
rq(R1*R2) = rq(r*R1) + rq(r*R2) = rq(r)(rq(R1) + rq(R2) ===> 1/rq(r) = 1/rq(R1) + 1/rq(R2)
ii) Parece bastante intuitivo que el máximo de R1 + R2 se produce cuando R1 = R2 (y así es en efecto, pero hay que demostrarlo). No obstante,
R1 = R2 ===> R = (1 + rq(2))R1 ===> R1 = R2 = (rq(2) - 1)R
Por lo que si R = 4, queda R1 + R2 = 8(rq(2) - 1)
iii) También parece claro que el máximo de r se produce para R1 = R2. Entonces,
1/rq(r) = 2/rq(R1) ===> rq(r) = rq(R1)/2 ===> r = R1/4 = (rq(2) - 1)R/4
Si R = 4, el máximo de r sería efectivamente (rq(2) - 1)