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Calcolare la derivata

Argomento:
Derivata
Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto il significato del concetto di derivata. Puoi vedere un riassunto interattivo di quanto detto finora a questo indirizzo: https://ggbm.at/b2rVfyDa. Ora inizieremo a vedere come si può concretamente calcolare questo strumento molto importante. Vediamo un primo esempio nell'animazione qui sotto.
NOTA: La variazione vale in realtà sempre : non è necessario fare ogni volta i conti), dato che è proprio l'incremento di cui ci muoviamo lungo questo asse. Riassumiamo. 1) Abbiamo calcolato la velocità media partendo dal punto e spostandoci di un incremento , quindi . Questa velocità media è data dal rapporto incrementale : Per calcolare sostituiamo come al solito nell'espressione della funzione (in questo caso ) il valore della nel punto considerato:
  • nel caso del punto abbiamo un numero e quindi sostituiamo come al solito:
  • nel caso del punto abbiamo un'espressione algebrica : la sostituiamo e troviamo  
Inserendo i risultati ottenuti nella formula abbiamo ottenuto Questo è il rapporto incrementale nel punto , cioè fornisce la velocità media con cui cambia la funzione nel punto , con la media svolta su un intervallo lungo . 2) Aver lasciato indicato l'incremento con una lettera, invece che assegnarli un valore specifico, ci permette di ottenere la velocità media per qualsiasi ampiezza (basta sostituire il valore che ci interessa nell'espressione . A noi interessa far tendere a zero, per rendere la velocità media sempre più accurata finchè non coincide con la velocità effettiva nel punto . Otteniamo così la derivata in quel punto. 3) Quello che si fa solitamente è generalizzare il procedimento e calcolare il valore della derivata per un qualsiasi valore delle ascisse (come al solito usiamo una lettera, in questo caso
  1. , per indicare un valore qualsiasi da assegnare alla , come nel nostro primo esempio). Nel caso della funzione dell'esempio il rapporto incrementale diventa:
Come vedi i calcoli sono identici a quelli dell'esempio, ma qui abbiamo il vantaggio di aver mantenuto generico il valore della ascissa di partenza, per cui saremo in grado di ottenere il valore della derivata per un valore qualsiasi del dominio della funzione. Raccogliendo e semplificando otteniamo: Notiamo che in questo caso il rapporto incrementale (cioè il coefficiente angolare della retta quando è ancora secante) cambia non solo in base all'incremento che consideriamo per definire il secondo punto, ma anche a seconda del valore del punto in cui ci interessa determinare il valore finale. A questo punto possiamo ottenere la derivata calcolando il limite per : Nel caso in cui otteniamo di nuovo 2, come nell'esempio visto dell'animazione. Questa espressione però è molto più potente, perchè ci permette di calcolare la derivata in un punto qualsiasi semplicemente sostituendo il valore della nell'espressione della derivata. Ad esempio se vogliamo sapere la velocità/inclinazione della funzione nel punto ci basta sostituire questo valore nell'espressione della derivata: è il valore della derivata nel punto considerato, quindi è la velocità/inclinazione effettiva della funzione in quel punto. La derivata di una funzione è quindi a sua volta una funzione, che ad un certo valore associa "l'inclinazione della funzione"in quel punto (che, per essere più precisi, è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto). Per questo motivo nel calcolo della derivata si usa direttamente la variabile , e non una "di appoggio", dato che comunque si tratta della ascissa su cui ci si potrà muovere per ottenere i vari valori della funzione derivata. Nel nostro caso diremo quindi che data la funzione , la sua derivata è .
Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto il significato del concetto di derivata, ora inizieremo a vedere come si può concretamente calcolare questo strumento molto importante. Vediamo un primo esempio nell'animazione qui sotto.
Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto il significato del concetto di derivata, ora inizieremo a vedere come si può concretamente calcolare questo strumento molto importante. Vediamo un primo esempio nell'animazione qui sotto.